[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/rtgbunzh]Una visión geométrica de las operaciones aritméticas[/url].[/color][br][br][b]3. ¿De qué signo eres?[/b][br][br]La circunferencia unitaria corta al EjeX en I, pero también en otro punto, I', simétrico a I con respecto a O, cuyas coordenadas son (–1, 0). El signo "menos" de la abscisa indica, pues, un cambio de orientación: I' se encuentra a la misma distancia de O que I, pero a la [i]izquierda[/i] de O. [br][br]Algebraicamente, las abscisas de I y I' corresponden a las soluciones del sistema formado por la ecuación de la circunferencia unitaria ([i]x[/i][sup]2[/sup] + [i]y[/i][sup]2[/sup] = 1) y la ecuación del eje de abscisas ([i]y[/i] = 0). Es decir, son las dos soluciones de [i]x[/i][sup]2[/sup] = 1.[br][br]La circunferencia unitaria corta también al eje de ordenadas, en dos puntos que usaremos más adelante: I[sub]y[/sub](0, 1) e I'[sub]y[/sub](0, –1).[br][br]Dado A([i]a[/i], 0), [i]a[/i] será [i]positivo[/i] cuando A diste de I menos que de I' y [i]negativo[/i] cuando diste más. Evidentemente, esto equivale a señalar como positivos los valores reales correspondientes a las abscisas de los puntos situados a la derecha de O y como negativos los correspondientes a los situados a la izquierda. Por extensión, y para evitar perífrasis, también diremos que A es positivo (o negativo) cuando [i]a[/i] lo sea. [br][br]En el caso |AI| = |AI'|, el punto A coincide con O, y el valor de [i]a[/i] será, por lo tanto, 0 (ni positivo ni negativo, sino [i]nulo[/i]).[br][br][br][b]4. La adición y la suma[/b][br][br]Ya estamos preparados para representar geométricamente las operaciones aritméticas. Observemos en primer lugar que, dados dos puntos A[i](a[/i], 0) y B([i]b[/i], 0), el punto medio de ambos está fuertemente relacionado con la suma de sus coordenadas (pues tiene por abscisas exactamente la mitad de esa suma). Por lo tanto, para sumar [i]a[/i] + [i]b[/i], basta reflejar O en el punto medio de A y B, obteniendo el punto S([i]a[/i] + b, 0). (Nota: tradicionalmente, para hallar el punto medio de A y B, se hace uso del trazado, con regla y compás, de la mediatriz del segmento AB, pero GeoGebra dispone de una herramienta y un comando directos.)[br][br]Con GeoGebra, dados A y B: [br][br] 1. M = PuntoMedio(A, B)[br] 2. S = Refleja((0,0), M)[br][br]Esto equivale, analíticamente (recordemos que GeoGebra también opera con los puntos como si fuesen vectores de posición), a:[br][br] S = A + B[br][br]Propiedades:[br][br]P1. Interna (la recta EjeX es cerrada para la suma). Para cualesquiera [i]a[/i] y [i]b[/i], se verifica que [i]a [/i]+ [i]b[/i] es un número real, ya que, por construcción, el punto S pertenece al EjeX.[br][br]P2. Conmutativa. Para cualesquiera [i]a[/i] y [i]b[/i], se verifica que [i]a[/i] + [i]b[/i] = [i]b[/i] + [i]a[/i], ya que el punto medio de A y B es el mismo que el de B y A.[br][br]P3. Asociativa. Para cualesquiera [i]a[/i], [i]b[/i] y [i]c[/i], se cumple ([i]a[/i] + [i]b[/i]) + [i]c[/i] = [i]a[/i] + ([i]b[/i] + [i]c[/i]), ya que el punto medio de ([i]a [/i]+ [i]b[/i], 0) y C coincide con el punto medio de A y ([i]b[/i] + [i]c[/i], 0).[br][br]P4. Existe elemento neutro (0). Para cualquier [i]a[/i], [i]a[/i] + 0 = [i]a[/i], ya que al reflejar O en el punto medio de A y O, obtenemos A.[br][br]P5. Simétrico respecto a la suma ([b][i]opuesto[/i][/b]). Para cualquier [i]a[/i], se verifica que [i]a [/i]+ (−[i]a[/i]) = 0, ya que el punto medio de A y A' es O. [br][br]P6. El opuesto del opuesto de [i]a[/i] es [i]a[/i], −(−[i]a[/i]) = [i]a[/i], pues (A')' = A.[br][br]P7. |−[i]a[/i]| = |[i]a[/i]|, pues A' dista de O lo mismo que A. [br][br]P8. Si [i]a[/i] es positivo, −[i]a[/i] es negativo, y viceversa, pues O es siempre el punto medio de A y A'.[br][br]P9. La suma [i]a[/i] + [i]b[/i] será positiva cuando el punto correspondiente que diste más de O (ya sea A o B) sea positivo. En el caso de que ambos disten igual, será positiva si ambos son positivos y cero si uno es negativo y el otro positivo. En cualquier otro caso, [i]a[/i] + [i]b[/i] será negativa.

[b]5. La sustracción y la resta o diferencia[/b][br][br]Para restar [i]a[/i] − [i]b[/i], sumamos [i]a[/i] + (−[i]b[/i]), obteniendo el punto D([i]a[/i] − [i]b[/i], 0).[br][br]Con GeoGebra, dados A y B: [br][br] 1. B' = Refleja(B, (0,0))[br] 2. M = PuntoMedio(A, B')[br] 3. D = Refleja((0,0), M)[br][br]Esto equivale, analíticamente, a:[br][br] D = A − B[br][br]Observemos que M(([i]a [/i]− [i]b[/i])/2, 0), por lo que D([i]a[/i] − [i]b[/i], 0).[br][br]La sustracción no es conmutativa. Por ejemplo, 0 – 1 no coincide con 1 – 0, pues en el primer caso obtenemos la abscisa de I' y en el segundo la de I.[br][br]Veamos ahora que el valor absoluto de la diferencia, |[i]a [/i]– [i]b[/i]|, corresponde a la distancia entre A y B, |AB|. Distinguiremos seis casos:[br][br]P1. A coincide con O. En tal caso, |AB| = |OB| = |[i]b[/i]| = |–[i]b[/i]| = |0 – [i]b[/i]| = |[i]a[/i] – [i]b[/i]|[br][br]P2. B coincide con O. En tal caso, |AB| = |OA| = |[i]a[/i]| = |[i]a[/i] – 0| = |[i]a[/i] – [i]b[/i]|[br][br]P3. A y B son ambos positivos. En tal caso, |AB| = | |OA| – |OB| | = |[i]a[/i] – [i]b[/i]|[br][br]P4. A y B son ambos negativos. En tal caso, A' y B' son ambos positivos, por lo que |AB| = |A'B'| = |–[i]a + b[/i]| = |[i]a[/i] – [i]b[/i]|[br][br]P5. A es positivo y B negativo. En tal caso, |AB| = | |OA| + |OB| | = |[i]a[/i] + (–[i]b[/i])|[br][br]P6. A es negativo y B positivo. En tal caso, |AB| = | |OA| + |OB| | = |(–[i]a[/i]) + [i]b[/i]|[br][br][br][b]6. Orden (tricotomía)[/b][br][br]Decimos que [i]a[/i] es mayor que [i]b[/i] cuando la diferencia [i]a[/i] – [i]b [/i]sea positiva, menor que [i]b[/i] cuando sea negativa, e igual a [i]b[/i] cuando sea nula.[br][br][br][br][color=#999999][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]