[color=#999999]Esta atividade pertence ao [i]livro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc]GeoGebra Principia[/url].[/color][br][br][br]A seguinte é uma das imagens geradas usando o scanner de cores dinâmico que mais gosto. O scanner possui uma versatilidade incrível e é capaz de criar um mapa de calor de praticamente qualquer situação [[url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc#material/ynrvg6x9]3[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc#material/ynrvg6x9]19[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc#material/ynrvg6x9]26[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc#material/ynrvg6x9]27[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/k7fgbjwc#material/ynrvg6x9]31[/url]].[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/aE2jc9Rh/QwFAk0chdCWt2FaD/material-aE2jc9Rh.png[/img][br] [br]Neste caso, o primeiro ponto isogónico I[sub]1[/sub] é visualizado através da interseção dos lugares geométricos dos pontos a partir dos quais se vê sob o mesmo ângulo cada par de lados do triângulo.[br][list][*][color=#808080]Nota: I[sub]1[/sub] coincide com o ponto de Fermat quando o maior ângulo do triângulo não excede 120º; caso contrário, o ponto de Fermat coincide com o vértice correspondente a esse ângulo. Pode ser calculado diretamente como o centro X(13) [/color][url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] [color=#808080]do triângulo:  [/color][color=#808080]I[sub]1[/sub] = PontosNotáveisdoTriângulo(O, A, B, 13).[/color][/*][/list]Entretanto, construir o scanner demanda algum trabalho. No entanto, podemos usar o CAS para não apenas definir distâncias, mas também ângulos. Se alguém ainda acha que usar a expressão [b]XA [/b]em vez da expressão sqrt((x − x(A))² + (y − y(A))²) também não economiza tanto trabalho, talvez agora repense, já que pode usar a expressão [b]OXA[/b], definida na folha CAS como:[br]  [br] [color=#CC3300]OXA(x,y):= Ângulo(O, X, A)[/color][br]  [br]em vez de sua equivalente algébrica (sendo O=(a, b) e A=(c, d)):[br][list][*]cos[sup]–1[/sup]((a c – a x + b d – b y – c x – d y + x² + y²) sqrt(a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴) / (a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴))[br][/*][/list]Naturalmente, essa expressão não passa de um desenvolvimento deduzido do produto escalar de dois vetores:[br] [br] vO(x,y):= Vetor(X, O)[br] vA(x,y):= Vetor(X, A)[br] OXA(x,y):= acos((vO vA)/(|vO|*|vA|))[br] [br]A grande vantagem, além da conveniência, reside no fato de que o comando Ângulo nos permite explorar as relações angulares sem precisar conhecer sequer as operações básicas com vetores, como o produto escalar.[br][br]Aqui, por exemplo, podemos ver o lugar geométrico correspondente aos pontos que formam com o segmento OA um ângulo igual (em radianos) à distância até o ponto A:[br][br][color=#CC3300] OXA − XA = 0[/color][br][list][*][color=#808080]Nota: As circunferências cujos arcos abrangem um ângulo OXA equivalente a XA radianos têm centros em: [/color][color=#808080] (O + A)/2 ± VetorPerpendicular(OA)/(2 tan(XA))[/color][/*][/list]E aqueles que veem os segmentos OA e OB do mesmo ângulo:[br][br][color=#CC3300] OXA − OXB = 0[/color][br] [br]Finalmente, a interseção deste último lugar geométrico com o correspondente à equação OXA – AXB = 0 é o ponto de Fermat procurado.

[color=#999999][color=#999999]Autor da atividade e construção GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]