[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]Descentralización[/b][br][br]La ruptura con la tonalidad coincide, históricamente, con la aparición del cubismo.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/k8p42aye/sP1k19tGtQKiqGkG/material-k8p42aye.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ugf79kv5/7zXRqvbqI3OtOyKA/material-ugf79kv5.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Perspectiva monocéntrica[/size][/td][td][size=85]Visión policéntrica[/size][/td][/tr][/table]

De la perspectiva monocéntrica se pasa a la visión policéntrica, en donde un objeto aparece desde múltiples puntos de vista. Cada punto del espacio tiene iguales posibilidades de ser centro. Igual ocurre con los semitonos en la dodecafonía: todos juegan el mismo papel.

[b]Percepción[/b][br][br]Junto con la ruptura de la tonalidad, surge una pregunta: ¿somos capaces de aceptar una música sin tono central y sin las usuales pautas (los acordes y sus transformaciones isométricas)? En la imagen se observan las simetrías tonales en el análisis de una obra musical tonal.

En el sistema dodecafónico, las clásicas transformaciones isométricas son ahora reemplazadas por permutaciones simétricas módulo 12. Es decir, para ver las simetrías e inversiones es necesario, previamente, reducir módulo 12.[br][br]Veamos un ejemplo. En la parte inferior de la imagen siguiente, aparece una melodía atonal. Su gráfica parece caótica, [b][i]desmodulada[/i][/b]. Sin embargo, una vez realizada la reducción módulo 12, es decir, trasladando todas las notas del mismo nombre a la misma octava, las simetrías vuelven a aparecer, como muestra la parte superior de la imagen.

De esta forma, la simetría estática del sistema tonal clásico es sustituida por una simetría dinámica basada en permutaciones de un sistema secuencial ([i]serial[/i]).

Hindemith ejemplifica cómo las simetrías mantienen su papel principal en su [i]Ludus tonalis[/i], creando un postludio que coincide con el preludio tras un giro de 180 grados.

[b]La Teoría Musical de Conjuntos de Hanson y Forte[/b][br][br]Esta teoría, iniciada por Hanson para el análisis de la música tonal y posteriormente desarrollada por Forte para el análisis de la música atonal, contempla la definición de conjuntos de notas susceptibles de organizar la música en torno a ellos y sus distintas manipulaciones.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/hjbup9gf/lx6LupS6cdPfo186/material-hjbup9gf.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/jvkrvejr/GfRUY4PX7L449LnB/material-jvkrvejr.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Howard Hanson (1896–1981)[/size][/td][td][size=85]Allen Forte (1926–2014)[/size][/td][/tr][/table][br]El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schönberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos.[br][br]De la misma forma que los vectores y matrices permiten calcular resultados de movimientos en el plano, los vectores y matrices de Forte permiten calcular resultados de movimientos melódicos o armónicos.[br][br]Hay que tener presente que los conjuntos y sus clases, que veremos a continuación, determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos.