[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Veamos ahora el caso general. Dada una función: [center][size=150][color=#cc0000]y = g(x)[/color][/size][/center]¿qué familia de funciones puede obtenerse mediante cambio de sistema de referencia? Es decir, dentro de su clase de equivalencia, de entre todas las curvas afínmente equivalentes a ella, ¿cuáles son también funciones? [br][br]En la siguiente construcción volvemos a usar el CAS para obtener esa familia[color=#cc0000]:[center][size=150]f(x) = A g(B x + C) + D x + E[/size] [/center][/color]con A y B no nulos. Para ello, basta tomar:[br][list][*][color=#cc0000]O[/color] = (-C/B, E - CD/B)[br][/*][*][color=#cc0000][b]a[/b][/color] = (1/B, D/B)[/*][*][color=#cc0000][b]b[/b][/color] = (0, A)[/*][/list][color=#999999]Nota: El nuevo sistema de referencia determina la función imagen obtenida, pero tal función podría ser obtenida por cambios de sistema de referencia diferentes. Es decir, la función obtenida no determina el nuevo sistema de referencia. Por ejemplo, el sistema [color=#cc0000]{O, [b]a[/b], [b]b[/b]} [/color]que acabamos de concretar transforma la función [color=#cc0000]y = x[sup]2[/sup][/color] en la función [color=#cc0000]y = A x[sup]2[/sup] + D x + E[/color] (sin más que tomar B=1 y C=0) pero la imagen del vértice de y = x[sup]2[/sup] no tiene por qué ser el vértice de la nueva función, mientras que el cambio de sistema que habíamos elegido específicamente para las funciones parabólicas conservaba esta característica.[br][br][color=#999999]Pero, ¿esto no cont[/color]radice que, como habíamos visto, bastan tres puntos (O, A, B) para determinar una transformación afín en el plano? No, no lo contradice, porque al transformar con dos cambios de base diferentes la misma función, no estamos garantizando que cada punto de la gráfica de la función tenga la misma imagen [color=#999999]en ambas transformaciones, a pesar de que, globalmente, la gráfica pueda ser la misma.[br][br]Recuerda que una misma función puede tener diferentes [i]parametrizaciones[/i]. Por ejemplo, la recta cuyos puntos son de la forma ([i]t[/i], 3+2[i]t[/i]) pasa por el punto (0,3) con dirección (1,2). Esta recta es la misma que la recta de puntos (1+2[i]t[/i], 5+4[i]t[/i]), que pasa por el punto (1,5) con dirección (2,4). Pero esto no quiere decir que para el mismo valor del parámetro [i]t[/i] se obtenga el mismo punto en ambas expresiones de la misma recta.[/color][/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]