Partiendo del applet de arriba, vemos que:[br][br]La proyección de OM sobre el eje Y' es: y' = cosθ Ecuación (5)[br][br]La proyección de OM sobre el eje Z' es: z' = senθ Ecuación (6)[br][br]La proyección de OM en el eje Y es: y = cos(θ + ζ) Ecuación (7a)[br][br]La proyección de OM sobre el eje Z es: z = sen(θ + ζ) Ecuación (7b)[br][br]Aplicando las identidades trigonométricas del seno de la suma de dos ángulos y del coseno de la suma de dos ángulos obtenemos:[br][br]y = cos(θ + ζ) = cosθ cosζ - senθ senζ[br][br]Sustituyendo y' = cosθ, z' = senθ en la ecuación anterior, obtenemos:[br] [br]y = y' cosζ - z' senζ Ecuación (9a)[br][br]De forma similar, obtenemos:[br][br]z = sen (θ + ζ) = senθ cosζ + cosθ senζ[br][br]Sustituyendo z' = senθ, y' = cosθ obtenemos:[br][br]z = z' cosζ + y' senζ Ecuación (9b)[br][br]Si reemplazamos las ecuaciones [math]z=sen\eta[/math], [math]z'=sen\eta'[/math] y [math]y'=sen\xi'\cdot cos\eta'[/math] en la ecuación (9b), obtenemos:[br][math]sen\eta=sen\eta'\cdot cos\zeta+sen\xi'\cdot cos\eta'\cdot sen\zeta.[/math][br][br]Si sustituimos allí las relaciones de los lados y ángulos del triángulo esférico, obtenemos:[br][math]sen\left(90º-b\right)=sen\left(90º-a\right)cosc+sen\left(90º-B\right)cos\left(90º-a\right)senc[/math].[br][br]Aplicando la identidad [math]sen\left(90º-\alpha\right)=cos\alpha[/math], obtenemos la ecuación (11):[br][math]cosb=cosa\cdot cosc+sena\cdot senc\cdot cosB[/math][br][br]Nuevamente, al reemplazar las ecuaciones [img]data:image/png;base64,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[/img], [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEIAAAAUCAYAAAA5g+sCAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAm5JREFUWEft10nIjWEUB/DftyELGZIpQ2QlUaSUZFhIpkIkUggpU0rKwpSlKVIiU0IhikhKph2hSEpZkIWpxIKNQofz6e2697v3muLznbrd973P857n+f/P//yf9zZoiS8MNLTw8JWBeoiYgFUY3QzIW58YNjZiqYeIw7iMQ82AiMdYgEs/QsQT9G4GJIzHcbQtYqlVEddxMD//Ohf3cAMLf4SIl+j8rzOQ+/9UzhvLKWIZdmIGumDXHyAg2q5XrrMHi/O6K+bhI0ZiOR7hPfbl/QGEf10pADyC2ViBDwhzDCzd8awcnnJEzMXFlE4PLKqBiGC5WlTaRPx+EsMxHScSUPsENxMP83oU+mAcVuI01pSpdH8MwlKMxTtsw1t8OylqbY2JOFcN3S8YH4Jb2I8LOJU5N6MvphbWaCxcO7wpKKATXpVIfgdu4mg+fwcbcLZWRYREQ6q1GmnkjUpVi6sVJkT12iCID+lPQ8yNDYfct5d5Lpx/HYblWBjfJEwuzH2RqnheUEyrbJXvUpaCnZ+yC3+ICPmV20hpop8h4j4GZMIxCF84hvCK+L5WWKwfnmJtyjxUE3EeuzE0/aADgoDWOd4z84TCykaRiEp9Xo8yqqmidDw8KIDFGqGMrWlyr0v8IvYWCtiUCUIpS/Ag7+9m9eO5jpiT3jYix8PngsTVtRARk/fmxOjbeOGoJOd6ATc1fwqiskHIrBJXD4WGd4RCw1AbY0u+7hfzRlvFaRfRLU+I23l/BnG6xHdVRfxKcH9brlBUtFz4xn9LxOD8fzSwqer8zv7/m1QR7yRx3FaM/4WIqkVpISIpaiEiifgMXCxvFeqthCQAAAAASUVORK5CYII=[/img]y [img]data:image/png;base64,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[/img] en la Ecuación (9a) [math]y=y'cos\zeta-z'sen\zeta[/math] obtenemos:[br][math]sen\xi\cdot cos\eta=sen\xi'\cdot cos\eta'\cdot cos\zeta-sen\eta'\cdot sen\zeta[/math][br][br]Sustituyendo allí las relaciones de los ángulos y lados de los triángulos esféricos, obtenemos:[br][math]sen\left(A-90º\right)cos\left(90º-b\right)=sen\left(90º-B\right)cos\left(90º-a\right)cosc-sen\left(90º-a\right)senc[/math],[br]que es igual a (12):[br][math]cosA\cdot senb=-cosB\cdot sena\cdot cosc+cosa\cdot senc[/math][br][br]Las relaciones para los otros lados, se obtienen permutando A, B y C, a, b y c. Así obtenemos el teorema del coseno de la trigonometría esférica, o primera fórmula de Bessel (14):[br][math]cosb=cosa\cdot cosc+sena\cdot senc\cdot cosB[/math][br][math]cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA[/math][br][math]cosc=cosa\cdot cosb+sena\cdot senb\cdot cosC[/math][br][br]El último grupo de ecuaciones se llaman teorema del seno por el coseno de la trigonometría esférica, o tercera fórmula de Bessel (15):[br][math]cosA\cdot senb=-cosB\cdot sena\cdot cosc+cosa\cdot senc[/math][br][math]cosA\cdot senc=-cosC\cdot sena\cdot cosb+cosa\cdot senb[/math][br][math]cosB\cdot sena=-cosA\cdot senb\cdot cosc+cosb\cdot senc[/math][br][math]cosB\cdot senc=-cosC\cdot senb\cdot cosa+cosb\cdot sena[/math][br][math]cosC\cdot sena=-cosA\cdot senc\cdot cosb+cosc\cdot senb[/math][br][math]cosC\cdot senb=-cosB\cdot senc\cdot cosa+cosc\cdot sena[/math][br][br]Los grupos de ecuaciones (10), (14) y (15) son las expresiones básicas de la trigonometría esférica.