[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: Parábola[/color][br][br]Todas las parábolas ("trayectoria de la bola que se lanza") son afínmente equivalentes, y tienen por curva canónica la parábola:[center][size=150][color=#cc0000]x[sup]2[/sup] - y = 0[/color][/size][/center]Esta parábola canónica queda determinada por el vértice en (0, 0) y el foco en [b]j[/b]/4. Por lo tanto, una vez aplicado el cambio al sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]} se obtendrá una parábola de vértice O y foco O+ [b]b[/b]/4.[br][br]El vector [b]i[/b] (ortogonal a [b]j [/b]y con su mismo módulo) se ha de transformar en el vector [b]a[/b], que por tanto queda determinado por [b]b[/b], ya que ha de ser ortogonal a él y con su mismo módulo:[center][b]a[/b]=[math]\left(\begin{matrix}b_y\\-b_x\end{matrix}\right)[/math][/center]De hecho, si no nos interesa la ecuación algebraica, una manera muy rápida y sencilla de construir la parábola de vértice O y foco O+[b]b[/b]/4 es editar su ecuación vectorial con el comando Curva:[center][color=#cc0000]Curva(O+ [b]a[/b] tg(t) + [b]b[/b] tg²(t), t, -π, π)[/color][/center]Observa que la matriz de cambio de base es:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}b_y\\-b_x\end{matrix}\;\begin{matrix}bx\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/center]Escribiendo el vector [b]a[/b] en coordenadas polares, tenemos:[center][math]M=\left(\begin{matrix}r \text{ } cos(t)\\r \text{ } sen(t)\end{matrix}\;\text{ }\begin{matrix}-r \text{ }sen(t)\\r \text{ }cos(t)\end{matrix}\right)=r\left(\begin{matrix}cos(t)\\sen(t)\end{matrix}\;\begin{matrix}-sen(t)\\cos(t)\end{matrix}\right)=r M_g=r I M_g= \left(\begin{matrix}r\\0\end{matrix}\;\begin{matrix}0\\r\end{matrix}\right)M_g[/math][/center]donde M[sub]g[/sub] era la matriz de cambio de base de un giro de ángulo t y [math]\left(\begin{matrix}r\\0\end{matrix}\;\begin{matrix}0\\r\end{matrix}\right)[/math] es la matriz de escala que multiplica por r = |[b]b[/b]| los vectores [b]i[/b], [b]j[/b]. Ambas transformaciones conservan la forma, así que su composición también. La imagen del cuadrado unidad sigue siendo un cuadrado (de área [b]b[/b][sup]2[/sup]).[br][br]Conclusión: todas las parábolas tienen la misma forma.[br][br][color=#999999]Nota: Gracias a los comandos específicos para cónicas de GeoGebra, resulta sencillo invertir el proceso, es decir, dada la ecuación general de la parábola ec', averiguar el cambio de sistema de referencia con respecto a la parábola canónica:[br][/color][list][*][color=#999999]O = Vértice(ec')[/color][/*][*][color=#999999][b]b[/b] = 4 Vector(O, Foco(ec'))[/color][/*][*][color=#999999][b]a[/b] = VectorNormal(b)[/color][br][/*][/list]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]