Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Consideraremos, por razones que expondremos en el siguiente apartado, que la botella de Piaget tiene forma ortoédrica. Denominaremos
a a la altura de la botella y
b a su anchura. Inicialmente, la botella está llena de líquido hasta una altura
h. Supondremos también que la botella se encuentra cerrada, para poder analizar todos los casos "sin pérdida de líquido".
En la
sección 2 ("Caso particular: botella mediada") analizaremos el caso en que
h = a/2, es decir, la botella se encuentra llena hasta su mitad
exacta. Veremos que en esta situación tanto las construcciones como los cálculos se simplifican notablemente respecto al caso general. Ello se debe a que se produce la circunstancia de que al inclinar la botella el líquido alcanza
simultáneamente las bases inferior y superior, de modo que el nivel del líquido permanece en todo momento entre dos caras enfrentadas del ortoedro.
En la
sección 3 ("Caso general: soluciones") abordaremos el caso general, en donde el líquido puede alcanzar inicialmente cualquier altura
h. Modelizaremos el comportamiento y calcularemos la altura del nivel del líquido dependiendo de su posición respecto a la botella, diferenciando cuatro posiciones:
- Posición 1: El nivel del líquido se encuentra encerrado entre los rectángulos laterales de la botella.
- Posición 2: El nivel se encuentra entre la base inferior y un lateral.
- Posición 3: El nivel se encuentra entre un lateral y la base superior.
- Posición 4: El nivel se encuentra entre las dos bases.
En el camino, haremos uso del conocido "teorema de la altura", que detallaremos y demostraremos, primero de modo estándar en esta sección, y de modo automático en la siguiente. Posteriormente, integraremos los cuatro casos en una única construcción que permita pasar de forma continua de un caso a otro, como sucede en la realidad.
Haremos notar la simetría notoria existente entre las posiciones 2 y 3, así como entre las posiciones 1 y 4. Esta simetría facilitará los cálculos para las posiciones 3 y 4, al tiempo que evitará la necesidad de contemplarlas en la siguiente sección de demostración automática.