[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][/color][br][br]Consideraremos, por razones que expondremos en el siguiente apartado, que la botella de Piaget tiene forma ortoédrica. Denominaremos [b][i]a[/i][/b] a la altura de la botella y [b][i]b[/i][/b] a su anchura. Inicialmente, la botella está llena de líquido hasta una altura [b][i]h[/i][/b]. Supondremos también que la botella se encuentra cerrada, para poder analizar todos los casos "sin pérdida de líquido".[br][br]En la [b]sección 2[/b] ("Caso particular: botella mediada") analizaremos el caso en que [b][i]h [/i]=[i] a[/i]/2[/b], es decir, la botella se encuentra llena hasta su mitad [i]exacta[/i]. Veremos que en esta situación tanto las construcciones como los cálculos se simplifican notablemente respecto al caso general. Ello se debe a que se produce la circunstancia de que al inclinar la botella el líquido alcanza [i]simultáneamente [/i]las bases inferior y superior, de modo que el nivel del líquido permanece en todo momento entre dos caras enfrentadas del ortoedro.[br][br]En la [b]sección 3[/b] ("Caso general: soluciones") abordaremos el caso general, en donde el líquido puede alcanzar inicialmente cualquier altura [i]h[/i]. Modelizaremos el comportamiento y calcularemos la altura del nivel del líquido dependiendo de su posición respecto a la botella, diferenciando cuatro posiciones:[br][list][*]Posición 1: El nivel del líquido se encuentra encerrado entre los rectángulos laterales de la botella.[br][/*][*]Posición 2: El nivel se encuentra entre la base inferior y un lateral.[/*][*]Posición 3: El nivel se encuentra entre un lateral y la base superior.[/*][*]Posición 4: El nivel se encuentra entre las dos bases.[/*][/list]En el camino, haremos uso del conocido "teorema de la altura", que detallaremos y demostraremos, primero de modo estándar en esta sección, y de modo automático en la siguiente. Posteriormente, integraremos los cuatro casos en una única construcción que permita pasar de forma continua de un caso a otro, como sucede en la realidad.[br][br]Haremos notar la simetría notoria existente entre las posiciones 2 y 3, así como entre las posiciones 1 y 4. Esta simetría facilitará los cálculos para las posiciones 3 y 4, al tiempo que evitará la necesidad de contemplarlas en la siguiente sección de demostración automática.

En la [b]sección 4[/b] ("GeoGebra Discovery") introduciremos en qué consiste este programa de cálculo simbólico asociado a GeoGebra y cómo lo podemos usar para realizar demostraciones automáticas. Lo aplicaremos a la demostración del teorema de la altura e intentaremos aplicarlo para demostrar los resultados obtenidos para las posiciones 1 y 2 en la sección anterior. Veremos que en algunos casos el programa ya es capaz de realizar la demostración automática, mientras que en otros todavía (es un [i]software [/i]en desarrollo) es necesaria la intervención humana para "guiarle".[br][br]Finalmente, en la [b]sección 5[/b] ("Conclusiones") resumiremos el estado actual en el que se encuentra el uso de este programa, sus limitaciones y aspiraciones, así como su previsible uso futuro como herramienta de cálculo algebraico, demostración lógica y descubrimiento geométrico. En definitiva, como herramienta de aprendizaje e investigación.