[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color] [br]Puedes imaginar una ecuación como un equilibrio entre dos expresiones que se produce para cierto valor  desconcido. En la aplicación, hay un valor desconocido "x" que equilibra los dos platillos de la balanza.[br][br]Primero, usa los mandos de la balanza para colocar sobre ella las mismas expresiones que aparecen en la ecuación. Después, reduce todo lo que puedas el contenido de los platillos (a no ser que ya no se pueda reducir más). [br][br]Para lograrlo, retira todas las cajas "x" y "1" que puedas, pero atención, siempre [b]la misma cantidad  (de x o de 1) en ambos platillos[/b], para no desequilibrar la balanza: [u]si giras un mando debes realizar el mismo giro en el otro mando del mismo color[/u]. Con esto conseguirás que en un platillo solo haya cajas "x".[br][br]Una vez reducida la ecuación, basta comparar los dos platillos para deducir fácilmente cuál es el valor desconocido de "x". Por ejemplo, si nos queda 5=3x, cada caja "x" pesará 5/3.[br][br]Escribe tu solución en la casilla B1 de la hoja de cálculo. Si es correcta, te lo mostrará. En ese caso, pulsa Reiniciar [img]https://www.geometriadinamica.es/material_GGTube/reinicia.png[/img] para plantear otra ecuación.

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color][br][br]Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que  "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si restamos los cuadrados de ambos números.[br][br]Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:  [br](a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup][br][br]Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:  [br](a + b) (a - b) =  a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup]

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[br][br][/color]En esta actividad podrás elegir el sistema lineal (dos ecuaciones del tipo [b]a x + b y = c[/b] o equivalentes) a resolver y el método de resolución, ver sus pasos y comprobar tus resultados. Recuerda que antes de aplicar algún método en tu cuaderno tal vez necesites una preparación previa de cada ecuación, como quitar paréntesis o agrupar y ordenar los términos. [br][br]Recuerda también que gracias a las ecuaciones en ningún momento estás realmente obligado a realizar operaciones con fracciones. En caso de aparecer, puedes convertirlas en enteros multiplicando toda la ecuación por el producto de los denominadores que hubiera, o, si te resulta sencillo calcularlo mentalmente, por su mínimo común múltiplo.[br][br]Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen diferentes métodos básicos. Se suele usar uno u otro dependiendo de la forma en que se nos presente el sistema. Observa que cada ecuación puede interpretarse como la ecuación de una recta en el plano.[br][br]De los tres métodos algebraicos más conocidos (llamados [b]sustitución[/b], [b]igualación[/b] y [b]reducción[/b]), el método de reducción admite su generalización a muchas ecuaciones (método de [b]Gauss[/b]) por lo que es el método más usado en el mundo de las ecuaciones lineales. Su programación es sencilla y permite a los ordenadores hallar rápidamente las soluciones de sistemas con miles de ecuaciones con miles de incógnitas.[br][br]El inconveniente del método de reducción, sin embargo, es que no sirve para resolver otro tipo de sistemas (no lineales). En estos otros sistemas el método más usado es el de [b]sustitución[/b].[br][br]Por otra parte, el método de [b]igualación[/b] se puede considerar un caso particular del de sustitución y generalmente se aplica cuando el sistema está formado por varias funciones en forma explícita, es decir, la variable dependiente ya se encuentra despejada en todas las ecuaciones, en función de la variable independiente, por lo que basta [i]igualar[/i] sus expresiones. Por ejemplo:[br][br][center]e1: y = 3x - 2[/center][center]e2: y = 4x + 5 [/center]Finalmente, además de los métodos algebraicos, existe el método [b]gráfico[/b]. Consiste simplemente en dibujar las rectas y ver en qué punto se cortan. Las coordenadas (x, y) de ese punto serán la solución del sistema. El inconveniente de este método es que no es tan preciso como los métodos algebraicos.[br][br][b]Instrucciones de uso[/b]: Para introducir un nuevo sistema como introduce la primera ecuación en la barra de Entrada con el nombre de [b]e1[/b]. Por ejemplo:[center] e1: 2x - 3y = 3  [/center] (u otra equivalente, como e1: y = 2x/3 -1) y después introduce la segunda ecuación con el nombre de [b]e2[/b], por ejemplo:[center] e2: 3x - y = 1[/center]Notas: [br][br][list][*]Cuando las rectas sean coincidentes o paralelas, o alguna sea horizontal o vertical, la resolución es la misma en todos los casos.[/*][/list][list][*]En caso de introducir coeficientes racionales no enteros, la aplicación mostrará automáticamente una ecuación equivalente con coeficientes enteros.[/*][/list][list][*]Puedes recuperar las ecuaciones introducidas en la barra de Entrada haciendo clic en ella y pulsando las teclas ↑ y ↓. [br][/*][/list]

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[br][br][/color]Para resolver una ecuación de segundo grado [b]a x[sup]2[/sup] + b x + c = 0[/b] existen diferentes estrategias particulares, si la ecuación no está completa, si está factorizada o si sus soluciones son números enteros.[br][br]En primer lugar, si alguno de los coeficientes b o c es cero (es decir, si la ecuación está [b]incompleta[/b]), es fácil resolverla directamente. Veamos algunos ejemplos:[br][list][*]Para resolver [b]2x[sup]2[/sup] - 8 = 0[/b], despejamos x[sup]2[/sup] y después extraemos la raíz cuadrada.[/*][*]Haríamos algo similar para resolver la ecuación [b]2(x-1)[sup]2[/sup] - 8 = 0[/b], despejando primero (x-1)[sup]2[/sup]. [/*][*]Para resolver [b]2x[sup]2[/sup] [/b][b]-8x = 0[/b], factorizamos como (2x -8) x = 0. Como el producto es cero, al menos uno de los factores ha de ser 0. Así que o bien 2x - 8 = 0, o bien x = 0. [br][/*][/list]Si la ecuación está completa, pero [b]factorizada[/b], podemos usar este mismo último razonamiento. Por ejemplo, en la ecuación (2x-3)(x-1) = 0 al menos uno de los factores ha de ser 0. Así que o bien 2x - 3 = 0, o bien x - 1 = 0. [br][br]Otras veces incluso podemos resolver la ecuación mentalmente, porque en muchas ocasiones las [b]soluciones son números enteros[/b]. Si sospechamos que lo son, podemos proceder así:[br][list][*]Si el coeficiente principal es uno (por ejemplo, x[sup]2[/sup]  - 8x + 15 = 0), basta buscar dos números cuyo producto sea c (15) y su suma el opuesto de b, es decir, 8. No es difícil encontrarlos: son 3 y 5.[/*][*]Si el coeficiente principal no es uno, dividimos antes por él toda la ecuación y hacemos lo mismo.[/*][/list]Pero si la ecuación está completa y sin factorizar y las soluciones no son enteras... ¿Qué podemos hacer? En tal caso, podemos recurrir a una [b]conocida fórmula[/b] para resolverla. Es lo que se suele hacer porque es lo más rápido. Pero... ¿existen otras formas de resolverla?[br][br]Por supuesto que sí. En esta actividad veremos otra forma de resolver la ecuación completa. Nos basaremos en el conocimiento de la función cuadrática. Podemos interpretar la parte izquierda de la ecuación como una parábola de vértice en el punto de abscisa [b]x[sub]0[/sub] = -b/(2a)[/b].  Esta información basta para resolver la ecuación.

1. Vamos a resolver la ecuación a [b]4x[sup]2[/sup] -24x + 27 = 0[/b]. Usa la igualdad x[sub]0[/sub] = -b/(2a) para calcular la abscisa del vértice, x[sub]0[/sub]. [br][br]2. El vértice (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]) es un punto de la gráfica de la parábola, así que debe cumplir su ecuación. Sustituye en la ecuación de la parábola, y = 4x[sup]2[/sup] -24x + 27, el valor obtenido de x[sub]0[/sub] y calcula el correspondiente valor y[sub]0[/sub].[br][br]3. Una vez que ya conoces el vértice de la parábola, puedes sustituir la ecuación completa 4x[sup]2[/sup] -24x + 27 = 0 por la ecuación incompleta 4(x-x[sub]0[/sub])[sup]2[/sup] + y[sub]0[/sub] = 0, que corresponde a la forma canónica de esa función cuadrática. Comprueba en la aplicación que esa forma canónica coincide con la que se muestra en verde.[br][br]4. Resuelve la ecuación despejando el cuadrado y extrayendo después la raíz cuadrada. Llama x[sub]1[/sub] y x[sub]2[/sub] a las soluciones. Comprueba en la aplicación que las soluciones x[sub]1[/sub] y x[sub]2[/sub] que has encontrado coinciden con las que se muestran en la Vista Algebraica (zona de la izquierda).[br][br]5. Halla, de la misma manera, las soluciones de la ecuación [b]4x[sup]2[/sup] - 8x - 5 = 0[/b] (o de cualquier otra ecuación de segundo grado que desees). Compruébalas con la aplicación escribiendo en la barra de entrada la nueva definición de la función cuadrática: f(x) = 4x^2 - 8x - 5.[br][br]Nota: Observa que no todas las ecuaciones de segundo grado tienen soluciones reales. Para que existan soluciones la función cuadrática debe poseer raíces, es decir, la parábola debe cruzar (o al menos tocar) el eje OX.

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]