Thales & Pythagoras: Von der Ebene in den Raum und zurück

H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW, May 16, 2023

Der Satz des [b]Thales[/b] und der Satz des [b]Pythagoras[/b] sind wohl die beiden bedeutenden Sätze der ebenen Geometrie, die neben der Innenwinkelsumme im Dreieck in jedem Unterricht vorkommen. Sie hängen auch eng zusammen, wie hier in Kap. 1 deutlich wird. Wie kann man diese beiden Sätze ins Räumliche übertragen? [b]Was bleibt, was ändert sich?[/b] Wie man feststellt: Das ist nicht trivial! Was und wie kann man mit dynamischer Visualisierung und GeoGebra 3D auf Schulniveau oder etwas darüber entdecken? Titelbild: [b]Pythagoras [/b]von Wilfried Koch. Rietberg. Foto (c) H.-J. Elschenbroich Vortrag: AK Geometrie der GDM, Saarbrücken, 2023 Raumgeometrie, Strobl am Wolfgangsee, 2024

Table of Contents

  1. 0. Prolog
    1. Vorab
  2. 1. Thales und Pythagoras dynamisch in 2D
    1. 1.1 Satz des Thales
    2. 1.2 Umkehrsatz des Thales
    3. 1.3 Satz des Pythagoras
    4. 1.4 Pythagoras Kehrsatz
  3. 2. Thales 3D über AB
    1. 2.1 Dynamische Satzfindung Thales 3D über AB
    2. 2.2 Satz des Thales 3D über AB, Thaleskugel
    3. 2.3 Thales 3D Kehrsatz, Rechtwinkelhaken
    4. 2.4 Rechtwinkel-Haken im Kreisring
  4. 3. Pythagoras 3D über AB
    1. 3.1 Pythagoras 3D über AB
  5. 4. Pythagoras 3D über ABC
    1. 4.1 Pythagoras 3D: Interaktive Entdeckung
    2. 4.2 Pythagoras 3D: Formaler Beweis
    3. 4.3 Umkehrung?
    4. 4.4 Vom Rechtwinkel-Haken zur Rechtwinkel-Pyramide
  6. 5. Thales 3D über ABC
    1. 5.1 Thales 3D über ABC
    2. 5.2 Thales 3D über ABC
    3. 5.3 Thales 3D über ABC
  7. 6. Visualisierung der vierten Dimension?
    1. 6.1 Quadrat von Quadraten? Vierte Dimension?
    2. 6.2 Pythagoras 3D mit Vektoren visualisiert
    3. 6.3 Pythagoras 3D mit dreieckigen Prismen visualisiert
  8. 7. Von 3D zurück zu 2D
    1. 7.1 Zurück zum 2D-Fall: Thales
    2. 7.2 Zurück zum 2D-Fall: Pythagoras
  9. 8. Weitere räumliche Sätze
    1. 8.1 Weitere 3D Sätze?
    2. 8.2 Kathetensatz 3D
    3. 8.3 Höhensatz 3D
  10. Präsentation
    1. Vortrag als Powerpoint-Präsentation
    2. Impressionen (Saarbrücken 2023)
  11. Literatur & Kontakt
    1. Literatur
    2. Kontakt

1.

0. Prolog

  • 1. Vorab

1.1.

–

2.

1. Thales und Pythagoras dynamisch in 2D

Entdeckung und dynamische Visualisierung der Sätze des Thales und des Pythagoras in der ebenen Geometrie.

  • 1. 1.1 Satz des Thales
  • 2. 1.2 Umkehrsatz des Thales
  • 3. 1.3 Satz des Pythagoras
  • 4. 1.4 Pythagoras Kehrsatz

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

2. Thales 3D über AB

Erste Übertragung des Satzes des Thales nach 3D.

  • 1. 2.1 Dynamische Satzfindung Thales 3D über AB
  • 2. 2.2 Satz des Thales 3D über AB, Thaleskugel
  • 3. 2.3 Thales 3D Kehrsatz, Rechtwinkelhaken
  • 4. 2.4 Rechtwinkel-Haken im Kreisring

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

3. Pythagoras 3D über AB

Erste Übertragung des Satzes des Pythagoras nach 3D.

  • 1. 3.1 Pythagoras 3D über AB

4.1.

–

5.

4. Pythagoras 3D über ABC

3D-Version des Satzes des Pythagoras. Es kommt die Frage nach der Existenz auf. Dies führt dann in Kap. 5 zur 3D-Version des Satzes des Thales. Und dazu, dass in der 3D Version der Satz des Pythagoras NICHT umkehrbar ist.

  • 1. 4.1 Pythagoras 3D: Interaktive Entdeckung
  • 2. 4.2 Pythagoras 3D: Formaler Beweis
  • 3. 4.3 Umkehrung?
  • 4. 4.4 Vom Rechtwinkel-Haken zur Rechtwinkel-Pyramide

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

5. Thales 3D über ABC

3D-Version des Satzes des Thales. Schrittweise Erarbeitung und Visualisierung.

  • 1. 5.1 Thales 3D über ABC
  • 2. 5.2 Thales 3D über ABC
  • 3. 5.3 Thales 3D über ABC

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

7.

6. Visualisierung der vierten Dimension?

Wie kann man auf einem 2D Bildschirm ein vierdimensionales Objekt visualisieren?

  • 1. 6.1 Quadrat von Quadraten? Vierte Dimension?
  • 2. 6.2 Pythagoras 3D mit Vektoren visualisiert
  • 3. 6.3 Pythagoras 3D mit dreieckigen Prismen visualisiert

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

8.

7. Von 3D zurück zu 2D

Wie finden wir die 2D-Sätze als Spezialfall in den 3D-Sätzen und ihren Visualisierungen?

  • 1. 7.1 Zurück zum 2D-Fall: Thales
  • 2. 7.2 Zurück zum 2D-Fall: Pythagoras

8.1.

–

8.2.

–

9.

8. Weitere räumliche Sätze

  • 1. 8.1 Weitere 3D Sätze?
  • 2. 8.2 Kathetensatz 3D
  • 3. 8.3 Höhensatz 3D

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

10.

Präsentation

Die Powerpoint-Präsentation als Handout.

  • 1. Vortrag als Powerpoint-Präsentation
  • 2. Impressionen (Saarbrücken 2023)

10.1.

–

10.2.

–

11.

Literatur & Kontakt

  • 1. Literatur
  • 2. Kontakt

11.1.

–

11.2.

–

Information