柯西不等式 的複本

已知:a, b, c > 0 且 a + b + c = 3 試求:1/a + 4/b + 9/c 的最小值 解: [list=1] [*] 設 [math]\vec{a} = (\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})[/math] [*] 設 [math]\vec{b} = ({1 \over \sqrt{a}}, {2 \over \sqrt{b}}, {3 \over \sqrt{c}})[/math] [*] 則 [math]\vec{a}[/math] 長度固定為 [math]\sqrt{3}[/math] [*] 且 [math]\vec{a} \cdot \vec{b} = 6[/math],內積為固定值,所以投影量亦為固定值 [math]2\sqrt{3}[/math] [/list] 因此 [math]\vec{b}[/math] 的長度最短為投影量 [math]2\sqrt{3}[/math],此時兩向量重疊。

 

洪啟偉

 
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