Dans le jeu de [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Dobble]Dobble[/url], on a des cartes sur lesquelles sont représentés des symboles. Chaque paire de cartes a toujours exactement un symbole en commun et un seul. De plus, si vous prenez deux symboles, il n'existe qu'une seule carte les contenant tous les deux. Cette magie tient à la [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_projectif_(structure_d%27incidence)]géométrie projective[/url] sur un [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini]corps fini[/url]: [math]\mathbb Z/p\mathbb Z[/math], l'ensemble des entiers modulo [math]p[/math] un nombre premier, a une structure de corps. On peut étudier les droites dans le plan fini [math]\mathbb Z/p\mathbb Z^2[/math], il y a [math]p^2[/math] points donnés par leurs coordonnées [math](n,m)[/math] chacune entre 0 et [math]p-1[/math]. Il y a [math]p+1[/math] droites [i]vectorielles[/i], de la forme [math]y=n\times x[/math] pour chaque [math]n\in\mathbb Z/p\mathbb Z[/math] et la verticale [math]x=0[/math].
Chacune a [math]p[/math] points (l'origine est commune à toutes ces droites vectorielles).
En translatant ces droites afin qu'elles ne passent plus par l'origine, on obtient [math]p\times(p+1)[/math] droites [i]affines[/i], qu'on peut aussi comptabiliser par leurs équations cartésiennes [math]n\times x+m\times y=q[/math], [math](n,m,q)\in\mathbb Z/p\mathbb Z^3[/math], et [math]n,m[/math] non nuls simultanément, et définis uniquement à un multiple non nul près. Cela donne [math]\frac{(p^2-1)\times p}{p-1}=(p+1)\times p[/math]. Mais deux droites de même direction sont [i]parallèles[/i], elles ne se coupent pas (ou bien sont confondues).
Pour chacune des [math]p+1[/math] directions, on complète le plan fini par un point à l'infini, qui est le point "commun" à chacune des droites [i]parallèles[/i] de même direction. Il y a donc [math]p+1[/math] points à l'infini et le plan projectif [math]\mathbb{P}^2(\mathbb Z/p\mathbb Z)[/math] a [math]p^2+(p+1)[/math] points, qui définissent [math]p\times(p+1)+1=p^2+p+1[/math], autant de droites affines de chacune [math]p+1[/math] points.
On a donc en tout [math]p^2+p+1[/math] symboles, autant de cartes, de chacune [math]p+1[/math] symboles.
[math]\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|}
p&2&3&5&7&11&13\\
\hline
p+1&3&4&6&8&12&14\\
\hline
p^2+p+1&7&13&31&57&133&183
\end{array}
[/math]
Remarquons la symétrie de dualité entre les points et les droites dans cet espace projectif.
