三角形幾何学

Bunryu Kamimura, Oct 9, 2015

三角形には不思議な性質がたくさんあります。 その中にはまだ発見されていないものもあるはずです。 このジオジェブラを使うと正確な作図が簡単にでき、さらにアニメーションを使って変化を調べることができ、新しい発見が容易にできます。 「[b]もしかしたら・・・？[/b]」 そう感じた瞬間に試してください。 どんな発見が待っているのか楽しみです。

Table of Contents

  1. 三角形に関するいろいろな定理
    1. ジョンソンの定理
    2. ナポレオンの定理
    3. ボウティン・刈屋の定理
    4. モーレーの定理
    5. 四角形の重心
    6. クーリッジの定理
    7. 掛谷三角形
    8. 掛谷の三角形の作り方
    9. 掛谷三角形の心の軌跡
    10. Housel線
    11. 直極点
    12. △ＡＢＣの相似三角形の重心と外心と垂心と擬似重心の軌跡は一点で交わる
    13. 相反共役線を直交させる三角形
    14. ワトソンの定理
    15. 三角形に内接する相似三角形
    16. 二つの三角形の違いは？
    17. ポンペイウスの定理
    18. 中の定理
  2. 三角形と円
    1. 方ベキの定理
    2. 垂足三角形と中点三角形
    3. 垂心と外心の対称性
    4. 2円に内接・外接する三角形の重心
    5. 六点円
    6. スタイナー円
    7. 外接相似正三角形
    8. フールマン円
    9. ルモアール円
    10. タッカー円
    11. 三円共役点
  3. タッカー円群
    1. ルモアール円
    2. 六点円
    3. タッカー円
  4. 三角形の「中心」
    1. 三角形の心
    2. 傍九点
    3. 三円交線の交点
    4. Hは何だろうか？
    5. キーぺルト点
    6. ブロカール点
    7. ブロカール点
    8. ナーゲル点
    9. フェルマー点
    10. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
    11. OとHは等角共役点
    12. 三角形の心の作図のコマンド
    13. 三角形の中心の作る宇宙
    14. 等力点とフェルマー点（正三角形）
    15. ジェルゴンヌの定理
    16. 垂心の軌跡
    17. 垂心のはたらき
  5. 傍心三角形と垂足三角形
    1. 最短の三角形
    2. 三角形の角の二等分線
    3. 傍心三角形と心
    4. 接線三角形
    5. 三角形の拡大と縮小
    6. 外心と重心の関係
    7. 外心と重心の関係（９組）
    8. 重外関係と等角共役
  6. 三角形の極と極線
    1. 三角形に関する極と極線
    2. 極と極線は一対一に対応
    3. 三角形の中心を極とする極線
    4. 三角形の心と極線
    5. 極線と傍心三角形
    6. 三角形の極円
    7. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明

1.

三角形に関するいろいろな定理

三角形には面白い定理がたくさんあります。 とりあえず分類してみます。 ①三角形の心（中心）→オイラー線 ②三角形の直角双曲線→垂心 ③三角形の内接円、傍接円 ④垂足三角形と等角共役点 ⑤三角形の極と極線 ⑥三角形の直極点とデルトイド これらは互いに関連しあいながら深まっていく。

  • 1. ジョンソンの定理
  • 2. ナポレオンの定理
  • 3. ボウティン・刈屋の定理
  • 4. モーレーの定理
  • 5. 四角形の重心
  • 6. クーリッジの定理
  • 7. 掛谷三角形
  • 8. 掛谷の三角形の作り方
  • 9. 掛谷三角形の心の軌跡
  • 10. Housel線
  • 11. 直極点
  • 12. △ＡＢＣの相似三角形の重心と外心と垂心と擬似重心の軌跡は一点で交わる
  • 13. 相反共役線を直交させる三角形
  • 14. ワトソンの定理
  • 15. 三角形に内接する相似三角形
  • 16. 二つの三角形の違いは？
  • 17. ポンペイウスの定理
  • 18. 中の定理

1.1.

ジョンソンの定理

面白い定理です。３つの円の中心CDKを水色の円周にそって動かしてみましょう。[br]（ジョンソン１９１６）
言えることをできるだけ見つけましょう。そして、それを証明してみましょう。
– Bunryu Kamimura

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1.4.

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1.5.

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1.16.

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1.17.

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1.18.

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2.

三角形と円

  • 1. 方ベキの定理
  • 2. 垂足三角形と中点三角形
  • 3. 垂心と外心の対称性
  • 4. 2円に内接・外接する三角形の重心
  • 5. 六点円
  • 6. スタイナー円
  • 7. 外接相似正三角形
  • 8. フールマン円
  • 9. ルモアール円
  • 10. タッカー円
  • 11. 三円共役点

2.1.

方ベキの定理

とても簡単な定理なのに応用が広い。円に関する性質を数値に変換した定理。これで接点の位置もわかる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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3.

タッカー円群

外接円、テーラー円、ルモアール円は、タッカー円の一種である。 比べてみよう。

  • 1. ルモアール円
  • 2. 六点円
  • 3. タッカー円

3.1.

– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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4.

三角形の「中心」

三角形の中心は５０００個ほど見つかっている。 それを分類しようと試みてみた。 「三角形の心」[url]http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html[/url]

  • 1. 三角形の心
  • 2. 傍九点
  • 3. 三円交線の交点
  • 4. Hは何だろうか？
  • 5. キーぺルト点
  • 6. ブロカール点
  • 7. ブロカール点
  • 8. ナーゲル点
  • 9. フェルマー点
  • 10. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
  • 11. OとHは等角共役点
  • 12. 三角形の心の作図のコマンド
  • 13. 三角形の中心の作る宇宙
  • 14. 等力点とフェルマー点（正三角形）
  • 15. ジェルゴンヌの定理
  • 16. 垂心の軌跡
  • 17. 垂心のはたらき

4.1.

三角形の心

– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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4.13.

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4.14.

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4.15.

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4.16.

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4.17.

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5.

傍心三角形と垂足三角形

  • 1. 最短の三角形
  • 2. 三角形の角の二等分線
  • 3. 傍心三角形と心
  • 4. 接線三角形
  • 5. 三角形の拡大と縮小
  • 6. 外心と重心の関係
  • 7. 外心と重心の関係（９組）
  • 8. 重外関係と等角共役

5.1.

最短の三角形

三角形に内接する三角形の三辺の和が最小になる三角形はどんな三角形なのだろうか？
最短の三角形
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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6.

三角形の極と極線

  • 1. 三角形に関する極と極線
  • 2. 極と極線は一対一に対応
  • 3. 三角形の中心を極とする極線
  • 4. 三角形の心と極線
  • 5. 極線と傍心三角形
  • 6. 三角形の極円
  • 7. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明

6.1.

三角形に関する極と極線

全ての心に関して極線が存在する。これは逆も成り立ち、比がこのようになれば一点で交わる。Ｉが極点でＮＯが極線。左の関係はメネラウスの定理。ＮＯＭが一直線に並ぶのもこの定理による。
三角形の極と極線と中心
重心の極線はない。[br]垂心の極線は垂足三角形と三角形の交点でできる。[br]これを通る心は多数ある。[br]外心の極線も心を多数含む。[br]その他の心についての極線も同様に考えられるので、心で直線上にあるものは、[br]どれかの心の極線と思われる。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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