Color dinámico
Podemos usar el rastro y el color de los objetos de GeoGebra para crear fácilmente diversos diagramas de Voronoi y cómo método general para investigar relaciones entre los objetos geométricos. En los siguientes párrafos, se cuenta [b]la historia del descubrimiento de este método[/b]. Jugando con el rastro, un día me doy cuenta que la intersección de dos circunferencias puede dejar su rastro dinámico en forma de contraste de color. Generalizando a más circunferencias, obtendremos un diagrama de Voronoi. A Markus le gustó tanto la idea que subió el siguiente video demostrativo: [url]https://www.youtube.com/watch?v=h2wt6TPVeZ0[/url] Más adelante, (exactamente el 8 de marzo de 2009: [url]https://help.geogebra.org/topic/magic-color-ghost-constructions[/url]) descubro que la propiedad Color Dinámico que poseen los objetos creados con GeoGebra permite visualizar fácilmente puntos o lugares geométricos desconocidos, sin necesidad de construir ni un punto del lugar, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo. Este modo de empleo del color dinámico es realmente potente. Simplemente "barriendo" la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia, ante nuestros ojos. La combinación de rastro y color dinámico es una herramienta poderosa para la investigación. Sin embargo, el movimiento manual de un punto que deja el rastro de color resulta bastante incómodo, a la vez que impreciso. Si añadimos un deslizador, podemos animar automáticamente ese punto, de forma que recorra línea tras línea la pantalla. El problema de las figuras así creadas es que tardan mucho en aparecer. El punto que va dejando el rastro tiene que ir línea tras línea recorriendo la pantalla. La primera imagen del conjunto de Mandelbrot hecha con GeoGebra tardó 4 horas en generarse de esta forma. Afortunadamente, ahora podemos hacerlo mucho más rápido. Gracias a la Hoja de Cálculo incorporada posteriormente a GeoGebra, a partir del punto que deja rastro es muy sencillo crear una columna de puntos que lo acompañen. Así, podemos crear un escáner formado por una columna de n puntos B1,...,Bn (por ejemplo, 250 puntos). Estos puntos, muy próximos, se animan automáticamente mediante el mismo deslizador, procediendo a un avance horizontal -píxel a píxel- con solo pulsar un botón. El método es tan potente que en el 2011 me apresuro a compartir mi descubrimiento en el foro internacional de GeoGebra: [url]https://help.geogebra.org/topic/how-create-fast-color-maps-of-a-locus-without-construct-it[/url] En el ejemplo del punto de Fermat, la condición de color es que cada punto vea los dos segmentos del triángulo bajo el mismo ángulo. Si aplicamos esta condición a las tres parejas posibles de lados de un triángulo, con colores diferenciados, las tres líneas se encontrarán en los vértices y en el primer punto isogónico (punto de Fermat). Resumiendo: este escáner permite el mapeado del plano descubriendo aquellos lugares donde se cumple una determinada relación o propiedad, incluso desconociendo la forma de construir tal lugar geométrico. Más información: [url]https://www.geogebra.es/color_dinamico/Color%20dinamico%20-%20GacRSocMatEsp.pdf[/url] En esta otra dirección se muestra otro interesante uso del mapa de color dinámico: [url]https://www.geogebra.org/m/kfhnzmfx[/url]
Table of Contents
- Diagramas de Voronoi
- Visualizando una mediatriz sin crearla
- Diagrama de Voronoi
- Distancia taxi
- Diagrama de Voronoi baremado (o con distintas velocidades)
- Diagrama de Voronoi lejano
- Color dinámico
- Luz y color
- Propiedad Color Dinámico en GeoGebra
- Comprueba tu ojo para el color
- Escáner de color dinámico
- El método del barrido manual
- El método del barrido automático
- El escáner de Mandelbrot
- Ejemplos sencillos
- Bisectrices
- Escáner del punto de Fermat
- El centro del círculo que corta un triángulo proporcionalmente
- Caleidoscopio cartesiano
- Caleidoscopio polar
- Escáner de suma y diferencia a dos rectas
- Variable compleja
- El conjunto de Mandelbrot
- Super zoom Julia
- Fase cromática
- Generalización del teorema de Steiner-Lehmus
- Bisectores Todos
- Escáner de bisectores exteriores
- Escáner de bisectores interior-exterior del mismo vértice
- Escáner de bisectores interno-externo de distinto vértice
Visualizando una mediatriz sin crearla
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]Color dinámico[/url].[/color][br][br]Si tenemos varios puntos y a cada uno le asociamos una circunferencia de radio igual y suficientemente amplio, con el rastro activo y color diferenciado, al contraer simultáneamente todas las circunferencias hasta alcanzar sus centros obtendremos, finalmente, el diagrama de Voronoi correspondiente, es decir, las regiones formadas por los puntos más próximos a cada punto dado.[br][br]Esto se debe a que el color del rastro "superviviente" siempre será el correspondiente al punto que se encuentre más próximo. [br][br]Vamos a verlo primero con solo dos puntos. Pulsa el botón de Reproducir (esquina inferior izquierda) para contraer las circunferencias.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Luz y color
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]Color dinámico[/url].[/color][br][/color][br]Aquí se modeliza el famoso experimento de Newton sobre la dispersión de la luz: cuando un haz de luz blanca procedente del sol atraviesa un prisma de cristal, las distintas radiaciones monocromáticas son tanto más desviadas por la refracción cuanto menor es su longitud de onda, lo que origina su descomposición en los colores del arco iris.[br][br]Este modelo incluye la conversión de la longitud de onda de la luz (visible) al código de color RGB (variables [b]rojo[/b], [b]verde[/b], [b]azul[/b]) utilizado por GeoGebra. Obsérvese que hay colores RGB, como el rosa o el marrón, que no están presentes en el arco iris porque no son ondas puras (sino combinaciones de otras).[br]También incluye una función ([b]ref[/b]) que nos facilita el índice de refracción (aire-cristal) dependiendo de la longitud de onda λ.[br][br]La imagen de la izquierda nos ofrece una vista aumentada del espectro, en donde son visibles las líneas de Fraunhofer (bandas oscuras causadas por la absorción de algunas longitudes de onda por parte de elementos químicos de las capas externas del Sol y de las moléculas presentes en el aire, lo que nos permite averiguar la composición del Sol y otras estrellas).[br]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
El método del barrido manual
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]Color dinámico[/url].[/color][br][br]Supongamos que tenemos dos puntos fijos A y B y queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos (la mediatriz) usando la propiedad Color Dinámico.[br][br]Colocamos un punto C libre e introducimos los valores a=Distancia[C,A], b=Distancia[C,B]. [br][br]El lugar geométrico buscado estará formado por las posiciones del punto C para las cuales a=b.[br][br]Ahora buscamos expresiones algebraicas que tomen el valor 1 cuando a=b. Por ejemplo, a/b, b/a, 1+a-b, 1+abs(a-b), e^-abs(a-b), etc.[br][br]Colocamos cualquiera de esas expresiones (puede haber hasta 3 diferentes, una para cada valor R, G, B) como propiedad de Color Dinámico del punto C.[br][br]Supongamos, por ejemplo, que asignamos al punto C el color dinámico RGB=[a/b, a/b, a/b]. Al mover el punto C, con la traza activada, el rastro que deja va “pintando” la pantalla. Cuando se cumpla la condición a=b el valor RGB será [1,1,1], es decir, blanco:
Además de la mediatriz buscada, aparecen unas circunferencias no concéntricas rodeando al punto B. Cada circunferencia reúne a los puntos C que cumplen que "a es un múltiplo impar de b". [br][br]Esto es debido, como hemos visto, a la periodicidad del Color Dinámico. Si queremos eliminar esos otros lugares geométricos, basta reasignar el valor:[br][br] RGB = [e^(-abs(a-b)), e^(-abs(a-b)), e^(-abs(a-b))][br][br]Probamos a mover C por toda la pantalla y observamos el resultado:
Si deseamos la aparición de colores, basta asignar diferentes expresiones algebraicas a cada R, G, B. Por ejemplo:[br][br] RGB = [e^(-abs(a-b)), e^(-2 abs(a-b)), e^(-abs(a-b)/(a+b))][br][br]Obsérvese que cuando "a" sea igual a "b" el valor numérico RGB continuará siendo [1, 1, 1], es decir, blanco:
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Bisectrices
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]Color dinámico[/url].[br][br][/color]Usaremos esta técnica para revelar los puntos de corte de las bisectrices de un triángulo. [br][br]En este caso, al punto B1 le hemos asignado el color dinámico basado en la diferencia de distancias a los lados a, b y c del triángulo (o sus prolongaciones): [br][br] R = e^(-abs(Distancia[B1, a] - Distancia[B1, b]))[br] G = e^(-abs(Distancia[B1, b] - Distancia[B1, c]))[br] B = e^(-abs(Distancia[B1, c] - Distancia[B1, a]))[br][br]Mueve suavemente el punto B1.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
El conjunto de Mandelbrot
[color=#999999]Esta actividad pertenece a los [i]libros de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mrvzmuk6]Julia y Mandelbrot[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]Color dinámico[/url] y [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[/color][br][br]La definición del conjunto de Mandelbrot es "algo compleja" (típico chiste tonto entre matemáticos) pero la idea general no es difícil de entender, a partir de la [url=https://www.geogebra.org/m/ye6vmfan]anterior actividad[/url], como vamos a ver. [br][br]Efectivamente, hemos visto que si elegimos un valor entre -2 y 0.25, lo elevamos al cuadrado y sumamos al resultado el valor elegido, repitiendo este proceso indefinidamente, obtenemos una sucesión acotada. En el caso de que el valor de partida se encuentre fuera de ese intervalo, la sucesión resultante será no acotada.[br][br]También hemos visto que:[br][list][*]A veces, para distinguir una sucesión acotada de una que no lo sea, hacen falta muchas iteraciones.[/*][*]Dos valores de partida infinitamente próximos pueden causar sucesiones en las que una sea acotada y la otra no.[br][/*][*]Algunos valores de partida provocan sucesiones caóticas.[/*][/list]Pues bien, el conjunto de Mandelbrot está formado por todos los valores de partida que generan sucesiones [b]acotadas[/b], da igual si son convergentes o caóticas. Pero en vez de limitarse a valores reales (puntos en el eje X) el conjunto de Mandelbrot considera los valores complejos (puntos en el plano XY), pues estos "números complejos" también se pueden sumar y multiplicar.[br][br]Por ejemplo, el número complejo [b][color=#cc0000]i[/color][/b] ocupa la posición (0, 1) en el plano complejo. Al elevarlo al cuadrado y sumarle [b][color=#cc0000]i[/color][/b], obtenemos [color=#cc0000][b]i - 1[/b][/color], que ocupa la posición (-1, 1). Al volver a elevarlo al cuadrado y sumarle [b][color=#cc0000]i[/color][/b], obtenemos [b][color=#cc0000]-i[/color][/b], que ocupa la posición (0, -1). Ahora bien, en la siguiente iteración, volvemos a obtener [color=#cc0000][b]i - 1[/b][/color], con lo que entramos en el bucle infinito {[color=#cc0000][b]i - 1[/b][/color], [b][color=#cc0000]-i[/color][/b]}. Por tanto, el número [b][color=#cc0000]i[/color][/b] está en el conjunto de Mandelbrot, pues esta sucesión es acotada. (Puedes comprobar esta sucesión o cualquier otra en la [url=https://www.geogebra.org/m/fymsykrp]próxima actividad[/url].)[br][br]La gracia de los fractales reside en que, al igual que pasa con el 0.25 y valores muy próximos a él, la frontera del conjunto de Mandelbrot está formada por [u]puntos infinitamente próximos[/u], en los que unos sí pertenecen al conjunto pero sus vecinos no. ¡Así de fina y retorcida es la frontera del conjunto de Mandelbrot y de cualquier otro fractal![br][br]En esta actividad puedes visualizar cómo se desarrolla cada sucesión dependiendo del punto de partida elegido (en la [url=https://www.geogebra.org/m/fymsykrp]próxima actividad[/url] podrás profundizar en la exploración del conjunto de Mandelbrot). Observa que si eliges un punto dentro del conjunto de Mandelbrot (zona blanca), la sucesión de puntos no se aleja demasiado en ningún paso (es decir, está acotada), mientras que si eliges un punto de partida fuera del conjunto de Mandelbrot, la sucesión de puntos "se abre", más tarde o más temprano, alejándose hacia el infinito (es decir, no está acotada).[br][br]Prueba a mover el punto azul (o rojo, en el caso de que no pertenezca al conjunto de Mandelbrot). Para un ajuste fino, usa las teclas flecha en vez del ratón.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Bisectores Todos
Output of automatic theorem discovery, Generalized Steiner Lehmus Theorem (Recio, Losada, Valcarce, Montes)