Matemàtiques per al Disseny - Curs 2018-19 Q2 EPSEVG

Jordi Guàrdia i Rúbies, Feb 7, 2017

Materials per a l'assignatura [b]Matemàtiques per al Disseny[/b] del [i]Grau en Enginyeria de Disseny Industrial i Desenvolupament del Producte[/i] de l'[i]Escola Polictènica Superior d'Enginyeria de Vilanova i la Geltrú[/i].

Table of Contents

  1. Introducció
    1. Matèmatiques i cotxes
    2. Vagoneta mòbil
    3. Spline-Kurve
    4. Bezier Paths for Agata
    5. TrueType Fonts and Bézier Curves
    6. Tennis game: Bezier curves in 3D animation
    7. La gerra d'aigua
    8. Surfing on a surface
    9. Animation Using Bézier Curves
    10. Realitat Augmentada amb Geogebra
  2. Art
    1. Kandinsky Generator
    2. Leda Atòmica de Salvador Dalí
    3. Vasilij Kandinskij, Punto, linea, superficie.
    4. Escher's "Lizards" Tessellation
    5. Casa Battlo
  3. Models fets amb Geogebra
    1. Avió
    2. 3D aereo supersonico
    3. Panteón (Roma)
    4. Big Ben (Londres)
    5. Museo Guggenheim (New York)
    6. Homer^3
    7. Taj Mahal (Agra)
    8. 4-Stroke Engine
    9. Golden Gate (San Francisco)
    10. Variacions sobre les superfícies paramètriques
    11. Fem gerros
    12. armchair
    13. apple
    14. Bezier-Rosette
    15. Realitat augmentada
  4. Corbes paramètriques
    1. Rectes-velocitat
    2. Parametritzacions vs Velocitat
  5. Còniques
    1. Seccions còniques 3
    2. Circumferència
    3. El·lipse
    4. Hipèrbola
    5. Paràbola
    6. Circumferències-Velocitat
    7. Ellipse-velocitat
    8. Propiedades de reflexión en cónicas
    9. Propietat reflexió paràboles
    10. Nature d'une conique selon les coefficients
    11. Àrea plaça Sant Pere del Vaticà
    12. Càlcul de l'àrea de l'amfiteatre romà de Tarragona
  6. Catàleg de Corbes
    1. Cardioide com a figura envolupant
    2. Lemniscata de Bernouilli
    3. Espiral Logarítmica, Deslizadores
    4. fermat's spiral
    5. Espiral d'Arquímedes
    6. Hipo/Epeicycloids
    7. catenaria linea elettrica aerea con appoggi a dislivello
    8. Tractrix (Pursuit Curve)
    9. La clotoide
    10. Epicicloides
    11. Hipotrocoide
    12. Concoide de Nicomedes
    13. Epitrochoid
    14. Foli de Descartes
    15. Cicloide
    16. Hèlix
  7. Geometria Diferencial de Corbes
    1. Hèlix: Introducció Geometria Diferencial
    2. El pla osculador a una corba
    3. Ellipse-Triedre de Frénet
    4. Hèlix: Triedre de Frénet
    5. Dynamic Frenet-Serret frame
    6. Curvatura
    7. Osculating circle of a plane curve
    8. Curvature and Osculating Circle
    9. Cercle osculador d'una cúbica
    10. Cercle osculador i evoluta
    11. Corbes Offset d'una el·lipse
    12. Cicloide-Offset
    13. Helix-Curvatura-Torsio
    14. ContinuïtatG0
    15. ContinuïtatG1
    16. ContinuïtatG2
  8. Superfícies Paramètriques
    1. Parametrització del Tor
    2. Parametrització del Tor + Corbes sobre el Tor
    3. Helicoide
    4. Cinta de Möebius
    5. Superfície parametrizada - garrafa de Klein
    6. Superficie de Cartan
    7. Superfíces parametritzades: Esfera i altres
  9. Quàdriques
    1. Superficie cuádricas
    2. Superficies paramétricas
    3. Parametrització de l'esfera
    4. Esfera Parametrització 2
    5. Paraboloide
    6. Cilindre
    7. Paraboloide Hiperbólico
    8. Hiperboloide de dos hojas
    9. Hiperboloide de una hoja
    10. Elipsoide
    11. Superfícies Quàdriques en forma implícita
  10. Geometria Diferencial de Superfícies
    1. Tangent plane and normal line to a surface
    2. Esfera: Vector normal, Pla tangent
    3. Esfera - Generació del pla tangent
    4. Bola mòbil helicoide
    5. Superfície prisma mòbil
    6. Corbes sobre el cilindre
    7. Partial derivatives and Tangent plane
    8. Tangent plane to an area (animation)
  11. Superfícies Offset
    1. Superfícies offset
    2. Offset superfície Guimart
  12. Superfícies de revolució
    1. Superfícies de revolució
    2. Superfície revolució polígon
    3. Superfície revolució d'una corba en un pla (u,v)
    4. Superfícies de revolució en 3D
    5. Superfícies de Revolução
    6. Gabriel's Horn
  13. Superfícies reglades
    1. Superfícies reglades
    2. Flamera
    3. Una superficie reglada: Paraboloide hiperbólico z=xy
    4. Superficie reglada sobre un tetraedro
    5. Superfícies reglades amb l'eina
    6. Ruled Surface
    7. Ruled Surface
  14. Superfícies tubulars
    1. Superfícies tubulars
    2. Tubular-hèlix
  15. Afinitats
    1. Pantògraf. Cristoph Scheiner (1603)
    2. Exploring Two Reflections with Parallel Lines
    3. Exploring Reflections with Intersecting Lines
    4. Composició de dos girs
    5. Transformation and Composition Advanced Exploration
    6. all Transformations by Matrix-Multiplications
  16. Mosaics
    1. Mosaic Hexàgons p1
    2. Mosaic triangle p4 versió1
    3. Mosaic Triangle p4 Versio 2
    4. Mosaic Triangular no Uniforme
    5. Mosaic no uniforme - Quadrilàter
    6. Mosaic deformat - Triangle
    7. Mosaic deformat - Quadrat
    8. Mosaic deformat - Hexàgon
    9. Recull de tessel·lessions de M.C. Escher
    10. Tessel·lacions d'Escher (Llibre)
    11. Mosaic PG
    12. Mosaics. 12 Escher 01
    13. Mosaics regulars
    14. Mosaics. 10 Semiregular 3-4-3-3-4
    15. Mosaics. 09 Semiregular 3-3-3-4-4
  17. Corbes de Bézier
    1. Corbes de Bézier amb la finestra Full de Càlcul
    2. Corbes de Bézier - Sub-divisió
    3. Corba de Bézier n=2
    4. Corba de Bézier n=3
    5. Corba de Bézier n=2 amb Algoritme Casteljau
    6. Corba de Bézier n=3 amb Algoritme Casteljau
    7. Corba de Bézier n=3: Subdivisió
    8. Corba de Bézier de grau 3: Elevació de grau
    9. Corba de Bézier n=4: triedre de Frénet, Offset, tubular
    10. Continuïtat Geomètrica Corbes de Bézier
    11. Corbes de Bézier
    12. Drawing a car with Bezier curves.
    13. Bezier-Bernstein-3D
    14. Bézier Curve Coefficient Matrix
    15. BEIZER Curves
    16. Bezier Curves 3: Implementation
    17. Bézier Curves Equations
    18. Bézier Curve, arbitrary order
    19. 5. házi: Bezier Curve
    20. Bezier Curves 2: higher order polynomials
    21. Bézier Curve: Follow path
    22. Bezier Subdivision
    23. Bezier Curve Interactive Demonstration
    24. Bezier Approximation, 1
    25. Bézier Parabola
    26. Bernstein-Polynomials
    27. Bernstein-Polynomials 2
    28. Bernstein Polynomials 3
    29. 3D - bezier.2
    30. Bezier Curves 6 point stellation
    31. Bezier-Kurve Grad 5 im Raum
    32. Zusammengesetzte Bezier-Kurve Auto nur Linien
    33. Bezier-Kurvenstücke zur Anschmiegung von Hüllkurven
  18. Geometria Diferencial de Corbes de Bézier
    1. Triedre de Frenet en una corba de Bézier
    2. Evoluta d'una corba de Bézier
    3. Corbes offset d'una corba de Bézier
    4. Superfície tubular d'una corba de Bézier
  19. Superfícies de Bézier
    1. Superfície de Bézier bilineal
    2. Superfície de Bézier biquadràtica
    3. Superfície de Bézier de bigrau (3,2)
    4. Superficie de Bézier biquadràtica+rotació+homotècia
    5. Superfícies Bézier: Derivades Parcials, Offset
    6. Algoritme de Casteljau d'un pas
    7. Algoritme de Casteljau de dues passes
    8. Algoritme de Casteljau de dos passos
    9. Subdivisió de superfícies de Bézier
    10. Superfícies de Bézier enllaçades amb continuïtat G_1
    11. Pedaç de Coons
    12. Pedaç de Coons: Paracaigudes
    13. Editable Cubic Bézier Surface
    14. The de Casteljau algorithm on the sphere
    15. Animated Bezier Surface Generator
  20. Corbes de Bézier Racionals
    1. Bézier curves 4: Weights
  21. Corbes B-spline
    1. Ejemplos1 Diseño Spline Bezier
    2. Bézier Curves 5: Continous Path
    3. Poly -Bézier curves
    4. Bezier Circle
  22. Introducció geogebra
    1. INCENTRE i bisectrius.
    2. CIRCUMCENTRE i mediatrius.
    3. Generació d'una epicicloide
    4. Còniques
  23. Problemes resolts GD corbes
    1. GD Corbes - Problema 3 - Espiral de Fermat
    2. GD Corbes - Problema 4 - Ellipse
    3. GD Corbes - Problema 5 - Hipèrbola
    4. GD Corbes - Problema 6 - Paràbola
    5. GD Corbes - Problema 8
    6. GD Corbes - Problema 9 - Catenària
    7. GD Corbes - Problema 10 - Ellipse Offset
    8. GD Corbes - Problema 11 - Paràboles offset
    9. GD - Corbes - Problema 12 - Espiral Logarítmica
    10. GD Corbes - Problema 13 - Continuïtat G_1
    11. GD Corbes - Problema 14 - Continuïtat G_2
  24. Problemes resolts GD superfícies
    1. Problema 2 - Plans
    2. Problema 3 - Banda de Möbius
    3. Problema 5 - Superfícies de revolució - Paràboles
    4. Problema 11 - Superfícies reglades
    5. Problema 8 - Cucurutxo

1.

Introducció

  • 1. Matèmatiques i cotxes
  • 2. Vagoneta mòbil
  • 3. Spline-Kurve
  • 4. Bezier Paths for Agata
  • 5. TrueType Fonts and Bézier Curves
  • 6. Tennis game: Bezier curves in 3D animation
  • 7. La gerra d'aigua
  • 8. Surfing on a surface
  • 9. Animation Using Bézier Curves
  • 10. Realitat Augmentada amb Geogebra

1.1.

–

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

2.

Art

  • 1. Kandinsky Generator
  • 2. Leda Atòmica de Salvador Dalí
  • 3. Vasilij Kandinskij, Punto, linea, superficie.
  • 4. Escher's "Lizards" Tessellation
  • 5. Casa Battlo

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Models fets amb Geogebra

  • 1. Avió
  • 2. 3D aereo supersonico
  • 3. Panteón (Roma)
  • 4. Big Ben (Londres)
  • 5. Museo Guggenheim (New York)
  • 6. Homer^3
  • 7. Taj Mahal (Agra)
  • 8. 4-Stroke Engine
  • 9. Golden Gate (San Francisco)
  • 10. Variacions sobre les superfícies paramètriques
  • 11. Fem gerros
  • 12. armchair
  • 13. apple
  • 14. Bezier-Rosette
  • 15. Realitat augmentada

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

4.

Corbes paramètriques

ñwlreñlqrlqwlr´lqr´lñ

  • 1. Rectes-velocitat
  • 2. Parametritzacions vs Velocitat

4.1.

–

4.2.

–

5.

Còniques

  • 1. Seccions còniques 3
  • 2. Circumferència
  • 3. El·lipse
  • 4. Hipèrbola
  • 5. Paràbola
  • 6. Circumferències-Velocitat
  • 7. Ellipse-velocitat
  • 8. Propiedades de reflexión en cónicas
  • 9. Propietat reflexió paràboles
  • 10. Nature d'une conique selon les coefficients
  • 11. Àrea plaça Sant Pere del Vaticà
  • 12. Càlcul de l'àrea de l'amfiteatre romà de Tarragona

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

6.

Catàleg de Corbes

  • 1. Cardioide com a figura envolupant
  • 2. Lemniscata de Bernouilli
  • 3. Espiral Logarítmica, Deslizadores
  • 4. fermat's spiral
  • 5. Espiral d'Arquímedes
  • 6. Hipo/Epeicycloids
  • 7. catenaria linea elettrica aerea con appoggi a dislivello
  • 8. Tractrix (Pursuit Curve)
  • 9. La clotoide
  • 10. Epicicloides
  • 11. Hipotrocoide
  • 12. Concoide de Nicomedes
  • 13. Epitrochoid
  • 14. Foli de Descartes
  • 15. Cicloide
  • 16. Hèlix

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

6.11.

–

6.12.

–

6.13.

–

6.14.

–

6.15.

–

6.16.

–

7.

Geometria Diferencial de Corbes

  • 1. Hèlix: Introducció Geometria Diferencial
  • 2. El pla osculador a una corba
  • 3. Ellipse-Triedre de Frénet
  • 4. Hèlix: Triedre de Frénet
  • 5. Dynamic Frenet-Serret frame
  • 6. Curvatura
  • 7. Osculating circle of a plane curve
  • 8. Curvature and Osculating Circle
  • 9. Cercle osculador d'una cúbica
  • 10. Cercle osculador i evoluta
  • 11. Corbes Offset d'una el·lipse
  • 12. Cicloide-Offset
  • 13. Helix-Curvatura-Torsio
  • 14. ContinuïtatG0
  • 15. ContinuïtatG1
  • 16. ContinuïtatG2

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

7.12.

–

7.13.

–

7.14.

–

7.15.

–

7.16.

–

8.

Superfícies Paramètriques

  • 1. Parametrització del Tor
  • 2. Parametrització del Tor + Corbes sobre el Tor
  • 3. Helicoide
  • 4. Cinta de Möebius
  • 5. Superfície parametrizada - garrafa de Klein
  • 6. Superficie de Cartan
  • 7. Superfíces parametritzades: Esfera i altres

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

9.

Quàdriques

  • 1. Superficie cuádricas
  • 2. Superficies paramétricas
  • 3. Parametrització de l'esfera
  • 4. Esfera Parametrització 2
  • 5. Paraboloide
  • 6. Cilindre
  • 7. Paraboloide Hiperbólico
  • 8. Hiperboloide de dos hojas
  • 9. Hiperboloide de una hoja
  • 10. Elipsoide
  • 11. Superfícies Quàdriques en forma implícita

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

9.11.

–

10.

Geometria Diferencial de Superfícies

  • 1. Tangent plane and normal line to a surface
  • 2. Esfera: Vector normal, Pla tangent
  • 3. Esfera - Generació del pla tangent
  • 4. Bola mòbil helicoide
  • 5. Superfície prisma mòbil
  • 6. Corbes sobre el cilindre
  • 7. Partial derivatives and Tangent plane
  • 8. Tangent plane to an area (animation)

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

10.5.

–

10.6.

–

10.7.

–

10.8.

–

11.

Superfícies Offset

  • 1. Superfícies offset
  • 2. Offset superfície Guimart

11.1.

–

11.2.

–

12.

Superfícies de revolució

  • 1. Superfícies de revolució
  • 2. Superfície revolució polígon
  • 3. Superfície revolució d'una corba en un pla (u,v)
  • 4. Superfícies de revolució en 3D
  • 5. Superfícies de Revolução
  • 6. Gabriel's Horn

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

12.4.

–

12.5.

–

12.6.

–

13.

Superfícies reglades

  • 1. Superfícies reglades
  • 2. Flamera
  • 3. Una superficie reglada: Paraboloide hiperbólico z=xy
  • 4. Superficie reglada sobre un tetraedro
  • 5. Superfícies reglades amb l'eina
  • 6. Ruled Surface
  • 7. Ruled Surface

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

13.4.

–

13.5.

–

13.6.

–

13.7.

–

14.

Superfícies tubulars

  • 1. Superfícies tubulars
  • 2. Tubular-hèlix

14.1.

–

14.2.

–

15.

Afinitats

  • 1. Pantògraf. Cristoph Scheiner (1603)
  • 2. Exploring Two Reflections with Parallel Lines
  • 3. Exploring Reflections with Intersecting Lines
  • 4. Composició de dos girs
  • 5. Transformation and Composition Advanced Exploration
  • 6. all Transformations by Matrix-Multiplications

15.1.

–

15.2.

–

15.3.

–

15.4.

–

15.5.

–

15.6.

–

16.

Mosaics

  • 1. Mosaic Hexàgons p1
  • 2. Mosaic triangle p4 versió1
  • 3. Mosaic Triangle p4 Versio 2
  • 4. Mosaic Triangular no Uniforme
  • 5. Mosaic no uniforme - Quadrilàter
  • 6. Mosaic deformat - Triangle
  • 7. Mosaic deformat - Quadrat
  • 8. Mosaic deformat - Hexàgon
  • 9. Recull de tessel·lessions de M.C. Escher
  • 10. Tessel·lacions d'Escher (Llibre)
  • 11. Mosaic PG
  • 12. Mosaics. 12 Escher 01
  • 13. Mosaics regulars
  • 14. Mosaics. 10 Semiregular 3-4-3-3-4
  • 15. Mosaics. 09 Semiregular 3-3-3-4-4

16.1.

–

16.2.

–

16.3.

–

16.4.

–

16.5.

–

16.6.

–

16.7.

–

16.8.

–

16.9.

–

16.10.

–

16.11.

–

16.12.

–

16.13.

–

16.14.

–

16.15.

–

17.

Corbes de Bézier

  • 1. Corbes de Bézier amb la finestra Full de Càlcul
  • 2. Corbes de Bézier - Sub-divisió
  • 3. Corba de Bézier n=2
  • 4. Corba de Bézier n=3
  • 5. Corba de Bézier n=2 amb Algoritme Casteljau
  • 6. Corba de Bézier n=3 amb Algoritme Casteljau
  • 7. Corba de Bézier n=3: Subdivisió
  • 8. Corba de Bézier de grau 3: Elevació de grau
  • 9. Corba de Bézier n=4: triedre de Frénet, Offset, tubular
  • 10. Continuïtat Geomètrica Corbes de Bézier
  • 11. Corbes de Bézier
  • 12. Drawing a car with Bezier curves.
  • 13. Bezier-Bernstein-3D
  • 14. Bézier Curve Coefficient Matrix
  • 15. BEIZER Curves
  • 16. Bezier Curves 3: Implementation
  • 17. Bézier Curves Equations
  • 18. Bézier Curve, arbitrary order
  • 19. 5. házi: Bezier Curve
  • 20. Bezier Curves 2: higher order polynomials
  • 21. Bézier Curve: Follow path
  • 22. Bezier Subdivision
  • 23. Bezier Curve Interactive Demonstration
  • 24. Bezier Approximation, 1
  • 25. Bézier Parabola
  • 26. Bernstein-Polynomials
  • 27. Bernstein-Polynomials 2
  • 28. Bernstein Polynomials 3
  • 29. 3D - bezier.2
  • 30. Bezier Curves 6 point stellation
  • 31. Bezier-Kurve Grad 5 im Raum
  • 32. Zusammengesetzte Bezier-Kurve Auto nur Linien
  • 33. Bezier-Kurvenstücke zur Anschmiegung von Hüllkurven

17.1.

–

17.2.

–

17.3.

–

17.4.

–

17.5.

–

17.6.

–

17.7.

–

17.8.

–

17.9.

–

17.10.

–

17.11.

–

17.12.

–

17.13.

–

17.14.

–

17.15.

–

17.16.

–

17.17.

–

17.18.

–

17.19.

–

17.20.

–

17.21.

–

17.22.

–

17.23.

–

17.24.

–

17.25.

–

17.26.

–

17.27.

–

17.28.

–

17.29.

–

17.30.

–

17.31.

–

17.32.

–

17.33.

–

18.

Geometria Diferencial de Corbes de Bézier

  • 1. Triedre de Frenet en una corba de Bézier
  • 2. Evoluta d'una corba de Bézier
  • 3. Corbes offset d'una corba de Bézier
  • 4. Superfície tubular d'una corba de Bézier

18.1.

–

18.2.

–

18.3.

–

18.4.

–

19.

Superfícies de Bézier

  • 1. Superfície de Bézier bilineal
  • 2. Superfície de Bézier biquadràtica
  • 3. Superfície de Bézier de bigrau (3,2)
  • 4. Superficie de Bézier biquadràtica+rotació+homotècia
  • 5. Superfícies Bézier: Derivades Parcials, Offset
  • 6. Algoritme de Casteljau d'un pas
  • 7. Algoritme de Casteljau de dues passes
  • 8. Algoritme de Casteljau de dos passos
  • 9. Subdivisió de superfícies de Bézier
  • 10. Superfícies de Bézier enllaçades amb continuïtat G_1
  • 11. Pedaç de Coons
  • 12. Pedaç de Coons: Paracaigudes
  • 13. Editable Cubic Bézier Surface
  • 14. The de Casteljau algorithm on the sphere
  • 15. Animated Bezier Surface Generator

19.1.

–

19.2.

–

19.3.

–

19.4.

–

19.5.

–

19.6.

–

19.7.

–

19.8.

–

19.9.

–

19.10.

–

19.11.

–

19.12.

–

19.13.

–

19.14.

–

19.15.

–

20.

Corbes de Bézier Racionals

  • 1. Bézier curves 4: Weights

20.1.

–

21.

Corbes B-spline

  • 1. Ejemplos1 Diseño Spline Bezier
  • 2. Bézier Curves 5: Continous Path
  • 3. Poly -Bézier curves
  • 4. Bezier Circle

21.1.

–

21.2.

–

21.3.

–

21.4.

–

22.

Introducció geogebra

  • 1. INCENTRE i bisectrius.
  • 2. CIRCUMCENTRE i mediatrius.
  • 3. Generació d'una epicicloide
  • 4. Còniques

22.1.

–

22.2.

–

22.3.

–

22.4.

–

23.

Problemes resolts GD corbes

  • 1. GD Corbes - Problema 3 - Espiral de Fermat
  • 2. GD Corbes - Problema 4 - Ellipse
  • 3. GD Corbes - Problema 5 - Hipèrbola
  • 4. GD Corbes - Problema 6 - Paràbola
  • 5. GD Corbes - Problema 8
  • 6. GD Corbes - Problema 9 - Catenària
  • 7. GD Corbes - Problema 10 - Ellipse Offset
  • 8. GD Corbes - Problema 11 - Paràboles offset
  • 9. GD - Corbes - Problema 12 - Espiral Logarítmica
  • 10. GD Corbes - Problema 13 - Continuïtat G_1
  • 11. GD Corbes - Problema 14 - Continuïtat G_2

23.1.

–

23.2.

–

23.3.

–

23.4.

–

23.5.

–

23.6.

–

23.7.

–

23.8.

–

23.9.

–

23.10.

–

23.11.

–

24.

Problemes resolts GD superfícies

  • 1. Problema 2 - Plans
  • 2. Problema 3 - Banda de Möbius
  • 3. Problema 5 - Superfícies de revolució - Paràboles
  • 4. Problema 11 - Superfícies reglades
  • 5. Problema 8 - Cucurutxo

24.1.

–

24.2.

–

24.3.

–

24.4.

–

24.5.

–

Information