九点円を拡張せよ！
三角形の九点円をどうしたら拡張できるかの試みです。 （ちなみに九点円の拡張にはいろいろな方向があります。垂足円もその一つです） 九点円は内接円と傍接円に接しています。 そしてもう一つ、デルトイドに接しています。 このデルトイドを調べていたら、直極点と関係があることがわかりました。 詳しくは次のページへ【[b]シムソン線と直極点とデルトイド[/b]】[url]https://hamaguri.sakura.ne.jp/simsonline.html[/url] そして、この直極点を用いると、九点円をつくることができます。 しかも、その九点円は楕円に変形するのです。 この楕円を「[b]直極点楕円[/b]」と名づけると、この楕円の特別な場合が九点円ということがわかってきました。 だからこの「[b]直極点楕円[/b]」は九点円を拡張したものと考えられます。 まとめると、[b]直極点からシムソン線、デルトイド、外接円、九点円、垂足円、直極点楕円[/b]をつくることができるのです。
Table of Contents
- 九点円と直極点
- 二つの円の関係は？
- 三角形の各辺の中点を通る円
- 直極点
- 九点円を拡張する
- デルトイドのメタモルフォーゼ
- 直極点のつくる楕円
- デルトイドと直極点楕円
- 外心を通る直線の直極点楕円
- 外心と内心を結んだ線と直極点楕円
- オイラー線と直極点楕円
- 外心と内心を中心とする円の直極点の軌跡
- 外心を中心にした円の直極点の軌跡
- 内接円の接線の直極点の軌跡
- 円Ｐの接線の直極点の軌跡
- シムソン線の直極点
二つの円の関係は？
この二つの円は同じもので、[b]９点円[/b]という。[br]三角形ABCにおいて、各辺の中点と垂線の足とその中点の９点は同一円周上にあって、その中心NはOHの中点で、半径はR／２である。
デルトイドのメタモルフォーゼ
外心を中心とする円の半径を変えると、その直極点の軌跡は変化する。
メタモルフォーゼ
外接円 → 半径を小さくする → 半径０[br]デルトイド → 三つ葉（二重円） → ９点円[br][br]この変形には感動。[br]デルトイドが９点円になるということだ。[br][br]外接円の接線の直極点はデルトイドを描く。[br]外心を中心とする円の半径をだんだん小さくする。[br]半径を０にする・・・つまり、１点を回転する直線は半径０の円の接線と考えることができる。[br]こうやって半径を変えるということはｇを変えることであり、[br]このデルトイドの式から三つ葉（二重円）や円（二重円が重なった円）が出てくることがわかる。[br]ｍが０の時、この式は円の式になる。[br]さらに、[br]デルトイドの半径＝９点円の半径＋外接円の半径となることを確かめてみよう。[br][br]なお、Locusは使わずに式を直接求めたので、円になる理由がよくわかる。
九点円はデルトイドの内接円。三角形に対する内接円に対応する。とすると、デルトイドは三角形の普遍形みたいなもの。
外心と内心を結んだ線と直極点楕円
Wが「直極点楕円」をつくる直線の中心。Ｗを内心と外心を結んだ線上に置いてみる。Wを動かして「直極点楕円」の変化を見てみよう。フォイエルバッハ点で不動である。フォイエルバッハ点とは九点円と内接円の接点のこと。とすると、直線で不動な点が見つかるのではないか。
不動点があるわけ
最初不思議に思ったけど、よく考えてみれば当たり前。[br]まず、外心を通る線だから、外心の時は九点円となる。[br]この時、点Ｗの直極点はＷを通る直線だから、[br]ちょうど「外心と内心を通る直線」と同じ方向の直線がある。[br]その直極点は九点円の時と変わらないので不動点となる。[br][br]ここで不思議なのは[b]「外心と内心を結んだ直線」の直極点がフォイエルバッハ点となる[/b]ことだ。[br][br]
垂足円と内接円と「直極点楕円」Dは「直極点楕円」の中心。Dから垂線をひいて垂足円をつくるとＩで内接円になる。直極点楕円と垂足円が辺で一致するのは直極点の作図からわかる。
不動点がフォイエルバッハ点であることの説明
Ｄの垂足円とＤの「直極点楕円」は不動点を持つ。[br]Ｄを外心Ｏにもっていくと垂足円は九点円になる。[br]Ｄを内心Ｉにもっていくと垂足円は内接円になる。[br]外接円と内接円の共通な点はフォイエルバッハ点だけ。[br]よって、この不動点はフォイエルバッハ点である。