El dominio del Tiempo (cinemática intuitiva)
Este libro GeoGebra simula diversos experimentos cinemáticos [b]en tiempo real[/b] de una masa con velocidad [color=#c51414][b]v[/b][/color] sometida a una aceleración [color=#0a971e][b]g[/b][/color]. Las animaciones [b]no hacen uso de fórmulas[/b] (ni ecuaciones ni trigonometría ni cálculo diferencial), solo realizan las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento. Estas variaciones, en esencia, se reducen a la ejecución de dos instrucciones: Valor([color=#c51414][b]v[/b][/color], [color=#c51414][b]v[/b][/color] + [i]dt[/i] [color=#0a971e][b]g[/b][/color]) Valor([color=#1551b5]M[/color], [color=#1551b5]M[/color] + [i]dt[/i] [color=#c51414][b]v[/b][/color]) donde [i]dt[/i] es un intervalo muy pequeño de tiempo (unas pocas centésimas de segundo). Es decir, cada poco tiempo, [color=#c51414][b]v[/b][/color] varía en un valor igual a "un poquito de [color==#0a971e][b]g[/b][/color]" y la posición [color=#1551b5]M[/color] de la masa se desplaza "un poquito de [color=#c51414][b]v[/b][/color]". Es importante tener en cuenta que estas sumas no son numéricas, sino vectoriales, es decir, se suma una cierta cantidad en una cierta dirección y sentido. Veremos que esta idea, expuesta como tablas de variaciones por Richard Feynman en su famoso libro [i]The Feynman Lectures on Physics[/i] (volumen I, 9-7, [i]Planetary motions[/i]), se puede adaptar perfectamente a animaciones realizadas con GeoGebra, gracias a la posibilidad de sincronización con la hora disponible en el ordenador (u otro dispositivo) del usuario, permitiendo así la simulación bastante precisa de diversas situaciones sin necesidad de recurrir a la matemática superior.
Table of Contents
- Registro del tiempo
- Fracciones de tiempo
- Registro del tiempo
- Movimiento uniforme
- MRU: Movimiento rectilíneo uniforme
- Curva de persecución
- Problema de los ratones
- MCU: movimiento circular uniforme
- MCU en polares
- Aceleración
- Aceleración centrípeta del MCU
- Aceleración gravitatoria
- Péndulo cónico y MCU
- Movimiento unif. acelerado
- Caída libre
- Caída libre con marcas
- Caída libre con final
- Caída libre con v₀ horizontal
- Lanzamiento vertical
- Movimiento parabólico
- Trayectoria balística
- El mono y el cazador
- Caída por un plano
- Caída por una esfera
- Movimiento armónico simple
- MAS de un resorte horizontal
- MAS y MCU: isocronismo
- MAS de un resorte vertical
- Péndulo simple
- Péndulo simple
- Péndulo simple y MAS
- Péndulo de segundos
- La cicloide
- La Helena de la Geometría
- Caída por una cicloide
- Tautócrona ("tiempo igual")
- Braquistócrona ("tiempo mínimo")
- Péndulo cicloidal
- Órbitas
- Órbita circular
- Órbitas circulares
- Órbita geoestacionaria
- Satélites geoestacionarios
- Órbita elíptica
Fracciones de tiempo
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]El comando [b]TomaTiempo()[/b] permite recoger la fecha y hora real desde el ordenador o dispositivo que estemos usando. Al ejecutarse, devuelve una lista con la fecha y hora actuales en el siguiente orden:[br][br] {[i]milisegundos[/i], [i]segundos[/i], [i]minutos[/i], [i]horas[/i], [i]fecha[/i], [i]mes[/i], [i]año[/i], [i]mes [/i](texto), [i]día [i]semana[/i] [/i](texto), [i]día semana[/i]}[br][br]Por ejemplo, si ahora son las 3:09 (con 45,347 segundos) de la madrugada del día de Reyes de 2024, devolverá:[br][br] {347, 45, 9, 3, 6, 1, 2024, "Enero", "Sábado", 7}[br][br]En esta actividad puedes elegir usar la hora actual, recogida por este comando, o establecer la hora libre quieras. En este último caso, puedes mover los extremos de las tres agujas para poner el reloj en la hora deseada. Para ello, es recomendable seguir este orden: aguja horaria, minutero, segundero.[br][br]También puedes animar automáticamente la hora libre sin más que elegir la velocidad de animación (si no deseas esta animación, elige velocidad cero).[br][br]Independientemente del tipo de hora elegida, puedes parar la animación en cualquier instante (pequeño botón en la esquina inferior izquierda). También puedes activar el cronómetro en cualquier momento, pero ten en cuenta que el cronómetro recogerá siempre el tiempo real, en segundos, transcurrido entre su activación y su parada.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
MRU: Movimiento rectilíneo uniforme
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Después de crear, [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4#material/q9w2uqnu]como ya hemos visto[/url], un registro del tiempo, colocamos un punto [color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color] (que representa una masa [i]m[/i]) y creamos un [b]vector constante[/b] [color=#cc0000][b][b]v[/b][/b][/color]. Por definición de [i]velocidad [/i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url], la masa se desplazará [i]dt[/i] [b][color=#cc0000][color=#0a971e][b][color=#0a971e][b][color=#cc0000][b][b]v[/b][/b][/color][/b][/color][/b][/color][/color][/b], así que basta añadir al guion del deslizador [b]anima [/b]la instrucción:[br][br] Valor([color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color], [color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color] + [i]dt[/i] [color=#0a971e][b][color=#cc0000][b][b]v[/b][/b][/color][/b][/color])[br][br]para conseguir que [color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color] se desplace en un [i]movimiento rectilíneo uniforme (MRU)[/i] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url]. Observa que esta instrucción lo único que hace es, cada vez que se actualiza el valor del deslizador, obligar a [color=#0000ff]M[/color] a desplazarse "un poquito" ([i]dt[/i]) en la dirección y sentido de [b][color=#6aa84f][color=#0a971e][b][color=#0a971e][b][color=#0a971e][b][color=#cc0000][b][b]v[/b][/b][/color][/b][/color][/b][/color][/b][/color][/color][/b].[br][br]Para que [color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color] vuelva a la posición inicial [color=#9900ff]P[/color], añadimos la siguiente instrucción al guion del botón [b]reinicia[/b]:[br][br] Valor([color=#3d85c6][color=#0000ff]M[/color][/color], [color=#9900ff]P[/color])[br][br]El MRU es especialmente importante porque, según la [b]primera ley de Newton[/b], toda masa ha de permanecer o en reposo o en este movimiento (respecto a un sistema de referencia) si no actúa sobre ella ninguna fuerza. Es decir, la masa se resiste a variar su estado de movimiento. Esta importante propiedad se conoce como [i]inercia [/i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Inercia][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url].
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Mueve M[/color][br][color=#0000ff]Valor(M, M + dt v)[/color][br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Aceleración centrípeta del MCU
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]En la [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4#material/qj4t8dfd]actividad del MCU[/url] vimos cómo la masa [i]m[/i], representada por el punto [color=#0000ff]M,[/color] se desplazaba en un movimiento circular uniforme (MCU) alrededor del punto O, es decir, a una distancia [i]r[/i] con una velocidad angular [color=#ff3366][i]ω[/i][/color] constante. También aparecía una velocidad tangencial [color=#cc0000][b]v[/b][/color], cuyo módulo vale la constante [i][color=#6aa84f][color=#ff3366][i]ω[/i][/color][/color][/i] [i]r[/i]. [br][br]Pero que [color=#cc0000][b]v[/b][/color] tenga módulo constante no significa que la velocidad [color=#cc0000][b]v[/b][/color] sea constante, ya que su dirección no lo es. Esto significa que ha de existir una fuerza (un cuerpo rígido, la tensión de una cuerda, la gravedad, una fuerza magnética...) que obligue a la masa [i]m [/i]a mantener el movimiento circular. De otro modo, como hemos visto, seguiría un MRU, por inercia. [br][br]Esa fuerza se conoce como [i]fuerza centrípeta[/i], porque su dirección y sentido es hacia el centro de la circunferencia. Esta fuerza provoca una [i]aceleración centrípeta [/i][b][color=#6aa84f]c[/color][/b], representada por el vector verde. El valor de esta aceleración es exactamente el necesario para mantener a la masa en el movimiento circular y evitar que, por inercia, siga la dirección rectilínea.[br][br]Si nosotros ocupamos la posición del punto [color=#0000ff]M[/color], notaremos una fuerza que tiende a despegarnos del recorrido circular, a "salirnos por la tangente". Esa fuerza aparente (es decir, ficticia) recibe el nombre de "fuerza centrífuga", pero no es más que nuestra percepción de [b]la resistencia que ofrece la inercia[/b] a la fuerza centrípeta real.[br][br]Para observar mejor la relación entre la aceleración [b][color=#6aa84f]c[/color][/b] y la velocidad [color=#cc0000][b]v[/b][/color], activa la casilla "Ver variación de v" (diagrama que se conoce como [i]hodógrafa [/i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hod%C3%B3grafa][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] del movimiento).[br][list][*]Nota: en la hodógrofa, el punto [i]A[/i] recorre 2π|[color=#cc0000][b]v[/b][/color]| en cada vuelta, es decir, cada [i]T[/i] = 2π/[i][color=#6aa84f][/color][/i][color=#ff3366][i]ω[/i][/color] segundos. Como A avanza a velocidad [b][color=#6aa84f]c[/color][/b][color=#cc0000] [/color](la aceleración es la [i]velocidad de cambio[/i] de la velocidad), tenemos que |[b][color=#6aa84f]c[/color][/b]| = 2π|[color=#cc0000][b]v[/b][/color]|/[i]T[/i] = [i][color=#6aa84f][color=#ff3366][i]ω[/i][/color][/color][/i] |[color=#cc0000][b]v[/b][/color]| = [i][color=#6aa84f][color=#ff3366][i]ω[/i][/color][/color][/i][sup]2[/sup] [i]r = [/i][color=#cc0000][b]v[/b][/color][sup]2[/sup]/[i][i]r[/i][/i]. [/*][/list]Observa que los vectores [b][color=#6aa84f]c[/color][/b] y [color=#cc0000][b]v[/b][/color] determinan completamente el movimiento de [color=#0000ff]M[/color]. En la animación, cada vez que el tiempo avanza "un poquito" ([i]dt[/i]), la velocidad pasa a valer [color=#cc0000][b]v[/b][/color] + [i]dt[/i] [b][color=#6aa84f]c[/color][/b], con lo que la posición de [color=#0000ff]M[/color] pasa a ser [color=#0000ff]M[/color] + [i]dt[/i] [color=#cc0000][b]v[/b][/color].
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Registra el tiempo de la vuelta y el número de vueltas realizadas[/color][br][color=#0000ff]Valor(reg, Si(x(v)>0 ∧ x(v + dt c)≤0, Añade(t, reg), reg))[br]Valor(vueltas, Si(x(v)>0 ∧ x(v + dt c)≤0, vueltas + 1, vueltas))[/color][br][br][color=#cc0000]# Mueve M[/color][br][color=#0000ff]Valor(v, v + dt c)[br]Valor(M, M + dt v)[/color][br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Caída libre
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Esta animación simula el movimiento en [i]caída libre[/i] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] [b]en tiempo real[/b], despreciando la resistencia del aire. La animación [b]no hace uso de fórmulas[/b] (ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.[br][br]Una masa, representada por el punto azul, cae desde la posición inicial, que puedes colocar en cualquier lugar del primer cuadrante (puedes usar la rueda del ratón para acercar o alejar la cuadrícula). Tal como descubrió Galileo [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Galileo_en_la_torre_de_Pisa][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url], el tiempo de caída no depende de la masa.[br][br]La animación varía en cada instante tanto el vector velocidad [b][color=#cc0000]v[/color][/b] (en rojo) como la posición [color=#0000ff]M[/color] de la masa [i]m[/i], debido a la acción de la grave[color=#333333]dad, dada por el vector [/color][b][color=#6aa84f]g[/color][/b] (en verde). [br][br]Para ello, cada vez que pase una cantidad de tiempo [i]dt[/i] muy pequeña, por definición de [i]aceleración [/i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url], la velocidad aumenta [i]dt[/i][b] [color=#6aa84f]g[/color][/b]. Así de sencillo, basta añadir al guion del deslizador [b]anima [/b]la instrucción:[br][br] Valor([b][color=#cc0000]v[/color][/b], [b][color=#cc0000]v[/color][/b] + [i]dt[/i] [b][color=#6aa84f]g[/color][/b])[br][br]Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de tiempo.[br][list][*][color=#999999]Nota: Al medir el tiempo en segundos ([color=#999999][b]s[/b][/color]), la distancia se medirá en metros ([color=#999999][b]m[/b][/color]), la velocidad en [b]m/s[/b] y la aceleración en [b]m/s[sup]2[/sup][/b].[/color][/*][/list]
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Mueve M [/color][br][color=#0000ff]Valor(v, v + dt g)[/color][color=#999999][br]Valor(M, M + dt v)[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]
MAS de un resorte horizontal
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Esta animación simula un movimiento armónico simple (MAS) [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] [b]en tiempo real[/b], despreciando el rozamiento, de un resorte horizontal. La animación [b]hace uso del mínimo de fórmulas[/b] (ni trigonometría ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.[br][br]Una masa [i]m[/i], representada por el punto azul [color=#0000ff]M[/color], se encuentra en el extremo de un resorte o muelle de elasticidad constante [i]k[/i]. Puedes elegir, dentro de un intervalo, ambas constantes en el panel izquierdo. [br][br]Al iniciarse, la construcción muestra el punto azul [color=#0000ff]M[/color] en estado de reposo: el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre él. [b]Arrastra[/b] [color=#0000ff]M[/color] hacia la derecha o hacia la izquierda para estirar o comprimir el resorte. La distancia que lo arrastres determinará la [i]amplitud[/i]. Comprueba que, según arrastras M, el período teórico no varía, pues no depende de la amplitud. El motivo es que a mayor amplitud, mayor será la [i]fuerza restauradora[/i] del resorte, así que al final [color=#0000ff]M[/color] recorrerá cada oscilación en el mismo tiempo (demostraremos este [i]isocronismo [/i]en la próxima actividad).[br][br]Esa separación de la posición de reposo hará que el resorte se resista, apareciendo una aceleración [b][color=#6aa84f][b]a[/b][/color][/b] (en verde) cuyo sentido es siempre hacia el punto de reposo. Esta aceleración no es constante, sino que, en cada posición de [color=#0000ff]M[/color], es proporcional a la distancia [i]x[/i] de [color=#0000ff]M[/color] al punto de reposo. [br][br]Pulsa el botón [img]https://www.geogebra.org/resource/yxbcmb2f/CZJZaLQBirTUHVXU/material-yxbcmb2f.png[/img] para activar la animación. La aceleración [b][color=#6aa84f]a[/color][/b] provoca que [color=#0000ff]M[/color] adquiera una velocidad variable [color=#cc0000][b]v[/b][/color] (en rojo). Su módulo es proporcional a la elasticidad [i]k[/i] y a la distancia [i]x[/i], e inversamente proporcional a la masa [i]m[/i]. Es decir, |[b][b][color=#6aa84f]a[/color][/b][/b]| [b]= [/b][i]k[/i]/[i]m[/i] x.[br][list][*][color=#999999]Sabemos que [color=#999999]la fuerza del resorte es, por un lado, igual a la masa por la aceleración: [i]m[/i][b] [/b]|[b]a[/b]|, y por otro lado, proporcional a la distancia [i]x[/i] recorrida: [i]k[/i][b] [/b][i]x[/i]. De aquí se deduce que [color=#999999]|[/color][b][color=#999999][b]a[/b][/color][/b][color=#999999]|[/color] [b]= [/b][i]k/m[/i][b] [/b][i]x[/i]. [/color][/color][/*][/list]Así que adecuamos a esta situación el guion del deslizador [b]anima[/b]:[br][br] Valor([color=#cc0000][b]v[/b][/color], [color=#cc0000][b]v[/b][/color] + [i]dt[/i] [b][color=#6aa84f]a[/color][/b])[br][br]Es decir, cada vez que pasa una cantidad de tiempo [i]dt[/i] muy pequeña, por definición de aceleración, la velocidad [color=#cc0000][b]v[/b][/color] aumenta [i]dt[/i] [b][b][color=#6aa84f]a[/color][/b][/b].[br][br]Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de tiempo, en caso contrario su medición será errónea.
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Mueve M [/color][color=#cc0000] (usamos un vector auxiliar para retener el valor de vt antes de actualizar el valor de v)[/color][br][color=#0000ff]Valor(aux, v)[br]Valor(v, v + dt a)[br][/color][color=#999999]Valor(M, M + dt v)[/color][br][br][color=#cc0000]# Registra el tiempo del período y el número de oscilaciones completas[/color][br][color=#0000ff]Valor(reg, Si(x(aux) > 0 ∧ x(v) < 0, Añade(t, reg), reg))[br]Valor(osci, Si(x(aux) > 0 ∧ x(v) < 0, osci + 1, osci))[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]
Péndulo simple
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Esta animación simula el movimiento de un péndulo simple [url=https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] [b]en tiempo real[/b], despreciando el peso de la varilla y el rozamiento. La animación [b]no hace uso de fórmulas[/b] (ni trigonometría ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.[br][br]Una masa, representada por el punto azul, se encuentra en el extremo de la varilla, cuya posición inicial puedes colocar en cualquier lugar de la parte izquierda de la circunferencia, hasta una amplitud de 175º. (Se llama [i]amplitud angular[/i] al ángulo máximo que alcanza el péndulo respecto a su posición vertical.)[br][br]La animación varía en cada instante tanto el vector velocidad [b][color=#cc0000]v[/color][/b] (en rojo) como la posición [color=#0000ff]M[/color] de la masa, debido a la acción de la grave[color=#333333]dad, cuya [/color]aceleración [color=#333333]constante está representada por el vector [/color][b][color=#6aa84f]g[/color][/b] ([color=#333333]en línea verde discontinua[/color]). Este vector se puede descomponer como suma de dos: uno perpendicular a la varilla (en verde, [color=#6aa84f][b]gt[/b][/color]) y otro en la dirección de la varilla (este otro vector no interviene en el movimiento porque su efecto queda anulado por la rigidez de la varilla o, en el caso de un hilo, por la tensión del hilo).[br][br]Adecuamos el guion del deslizador [b]anima[/b]:[br][br] Valor([b][color=#cc0000]v[/color][/b], [b][color=#cc0000]vt[/color][/b] + [i]dt[/i] [color=#6aa84f][b]gt[/b][/color])[br] [br]Es decir, cada vez que pasa una cantidad de tiempo [i]dt[/i] muy pequeña, por definición de aceleración, la velocidad aumenta [i]dt [/i][color=#6aa84f][b]gt[/b][/color].[br][list][*][color=#999999]Nota: [/color][b][color=#cc0000]vt[/color][/b][color=#999999] es un vector con el mismo módulo que [/color][b][color=#cc0000]v[/color][/b][color=#999999], pero que conserva siempre la misma dirección perpendicular a la varilla; es necesario cambiar [/color][b][color=#cc0000]v[/color][/b][color=#999999] por [/color][color=#cc0000][b]vt[/b][/color][color=#999999] ya que si sumásemos directamente [/color][b][color=#cc0000]v[/color][/b][color=#999999] con [/color][i]dt[/i][b] [/b][color=#6aa84f][b]gt[/b][/color][color=#999999], el vector [/color][b][color=#cc0000]v[/color][/b][color=#999999] perdería paulatinamente esa perpendicularidad, pues la dirección de [/color][b][color=#cc0000]v[/color][/b][color=#999999] un instante antes ya no es perpendicular a la varilla un instante [/color][i]dt[/i][color=#999999] después.[/color][br][/*][/list][br]Observa que para amplitudes pequeñas (menores de 10º, aproximadamente), el período [i]T[/i] es prácticamente constante e igual al período [i]T[sub]0[/sub][/i] del movimiento armónico simple (MAS).[br][br]El resultado se ajusta bastante bien a la realidad, incluso para amplitudes angulares grandes, para las que no es buena la aproximación del movimiento pendular al de un movimiento armónico simple, como puedes comprobar. A partir de 130º, el cálculo del período teórico conlleva trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de 175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la amplitud a 180º.[br][br]Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de tiempo, en caso contrario el péndulo puede "despendolarse".
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Mueve M [/color][br][color=#999999]Valor(aux, vt)[/color][br][color=#0000ff]Valor(v, vt + dt gt)[/color][br][color=#999999]Valor(M, M + dt v)[/color][br][br][color=#cc0000]# Registra el tiempo del período y el número de oscilaciones completas[/color][br][color=#0000ff]Valor(reg, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) > 0, Añade(t, reg), reg))[br]Valor(osci, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) > 0, osci + 1, osci))[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]
La Helena de la Geometría
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Imagina una rueda que gira sobre un plano horizontal, sin deslizarse. Un punto de su circunferencia realizará una combinación de dos movimientos: el rectilíneo uniforme (MRU) del centro de la rueda (punto blanco) y el circular uniforme (MCU) del punto que gira alrededor de ese centro (punto verde). Esta combinación da lugar al recorrido del punto de la rueda (punto naranja), un recorrido curvo denominado [i]cicloide[/i] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] (también conocida como [i]la Helena de la Geometría[/i], por las muchas discusiones físico-matemáticas que generó a lo largo de la historia).[br][br]Pulsa el botón [img]https://www.geogebra.org/resource/yxbcmb2f/CZJZaLQBirTUHVXU/material-yxbcmb2f.png[/img] para ver esta curva.[br][br]Como puedes observar, a partir de su definición, hay dos consecuencias evidentes. La primera es que la cicloide una curva periódica, pues, a cada vuelta de rueda, el punto comienza el mismo trazado. La segunda es que su período es la longitud de la circunferencia (2π[i]r[/i], siendo [i]r[/i] el radio de la rueda), pues en cada vuelta la rueda recorre su perímetro. Varía el valor de [i]r[/i] para comprobarlo.[br][br]En la construcción, hemos limitado la curva a los valores de un ángulo [i]β[/i] entre -2π y 2π. Para cada valor de [i][i]β[/i][/i], el ángulo del punto verde es -[i]β[/i] - π/2. Así que su posición es (recuerda lo que hemos visto sobre las [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4#material/zfxfwd9n]coordenadas polares[/url]): ([i]r[/i] ; -[i][i][i]β[/i][/i][/i] - π/2). Para ese mismo valor [i][i][i]β[/i][/i][/i], el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura [i]r[/i], la longitud del arco de rueda correspondiente: [i]β[/i] [i]r[/i]. Así que su posición es ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]). Por lo tanto, la posición del punto naranja es:[br][br] ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]) + ([i]r[/i] ; -[i][i][i]β[/i][/i][/i] - π/2)[br][br]Esta es la ecuación de la cicloide. Con GeoGebra, podemos representar los dos arcos mostrados de la curva como:[br][br] c([i]β[/i]) = ([i]β[/i] r, r) + (r ; -[i]β[/i] - π/2), -2π ≤ [i]β[/i] ≤ 2π[br][br]o bien, usando el comando Curva:[br][br] Curva(([i]β[/i] r, r) + (r ; -[i]β[/i] - π/2), [i]β[/i], -2π, 2π)[br][br]En las siguientes actividades haremos uso de esta curva, pero invertida. Activa la casilla "Invierte" para verla. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene dada, para el ángulo [i]β[/i], por:[br][br] ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]) + ([i]r[/i] ; [i][i][i]β[/i][/i][/i] + π/2)
[color=#0000ff][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]
Órbita circular
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Hasta ahora hemos supuesto que la aceleración gravitatoria [b][color=#6aa84f]g[/color][/b] se medía en la superficie terrestre, con el módulo igual a 9.81 m/s[sup]2[/sup]. Pero un satélite artificial [color=#666666]M[/color] orbitando alrededor de la [color=#0000ff]Tierra [/color]está sometido a una [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4#material/bkkfqufa]aceleración menor[/url].[br][br]Recordemos que el módulo de la aceleración gravitatoria [b][color=#6aa84f]g[/color][/b] provocada por la masa de la Tierra varía con el cuadrado de esa distancia [i]d[/i], que ahora ya no coincide con el radio [i]r[/i] de la Tierra:[br][center][math]\left|g\right|=G\frac{m_T_{ }}{d^2}[/math][/center]donde [i]G[/i] es la constante de gravitación universal y [i]m[sub]T[/sub][/i] es la masa de la Tierra.[br][br]La siguiente tabla recoge los valores de [b][color=#6aa84f]g[/color][/b] y [b][color=#cc0000]v[/color][/b], así como el período, que corresponde a un satélite situado en órbita circular a la altura dada (la altura 0 es teórica, solo para comparar):[br][br][center][math][br]\begin{tabular}{|l|l|l|l|}[br]\hline[br]\text{Altura (km)} & \text{\bf\fgcolor{#6aa84f}{g}}\text{ (m/s^2)} & \text{\bf\fgcolor{#cc0000}{v}}\text{ (km/h)} & \text{T (h)} \\[br]\hline[br]\text{0} & \text{9.81} & \text{28 472} & \text{1.41} \\[br]\hline[br]\text{280} & \text{9} & \text{27 868} & \text{1.5} \\[br]\hline[br]\text{2 350} & \text{5.24} & \text{24 336} & \text{2.25} \\[br]\hline[br]\text{3 600} & \text{4} & \text{22 759} & \text{2.75} \\[br]\hline[br]\text{35 786} & \text{0.22} & \text{11 066} & \text{23.93} \\[br]\hline[br]\hline[br]\end{tabular}[br][/math][/center]Observando la tabla, vemos que no es posible representar gráficamente, con fidelidad, el movimiento del satélite alrededor de la Tierra. Si optamos por introducir las medidas reales sin escalarlas, representaremos un movimiento que tarda mucho (lo mismo que el satélite real, más de una hora) en trazar la trayectoria circular completa. No parece razonable esperar tanto. Tampoco podemos escalar, pues los valores reales de [b][color=#6aa84f]g[/color][/b] son muy pequeños en comparación con los valores reales de la velocidad [b][color=#cc0000]v[/color][/b] del satélite, de modo que al menos uno de estos dos vectores no se visualizaría correctamente.[br][br]Ahora bien, lo que podemos hacer es representar [i]la idea[/i] de ese movimiento. Al ser un movimiento circular uniforme, sabemos que:[br][center][math]\omega=\frac{\left|v\right|}{d}=\frac{\sqrt{\left|g\right|d}}{d}=\sqrt{\frac{\left|g\right|}{d}}=\sqrt{\frac{Gm_T}{d^3}}[/math][/center]Como [i]G m[sub]T[/sub][/i] es una constante, eligiendo 81 como su valor y 9 como el valor de [i]d[/i], tenemos |[b][color=#6aa84f]g[/color][/b]| = 1 y |[color=#cc0000][b]v[/b][/color]| = 3. [br][br]Ya tenemos todo lo necesario para realizar la construcción en GeoGebra. Representamos el satélite a 9 unidades del centro de la [color=#0000ff]Tierra[/color], con |[b][color=#6aa84f]g[/color][/b]| = 1 y |[color=#cc0000][b]v[/b][/color]| = 3, y dejamos, como siempre, que el deslizador [b]anima [/b]haga su trabajo. [br][list][*][color=#999999]Nota: Para calcular el valor teórico T del período, usamos la fórmula: [/color][math]T=\frac{2\pi}{\omega}=6\pi\text{ }''[/math][/*][/list]
[b]GUION DEL DESLIZADOR anima[/b][br][br][color=#cc0000]# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt[/color][br][color=#999999]Valor(tt, t1(1))[br]Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))[br]Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)[/color][br][br][color=#cc0000]# Registra el tiempo de la vuelta y el número de vueltas realizadas[/color][color=#999999][br]Valor(reg, Si(x(v)>0 ∧ x(v + dt g)≤0, Añade(t, reg), reg))[br]Valor(vueltas, Si(x(v)>0 ∧ x(v + dt g)≤0, vueltas + 1, vueltas))[br][br][/color][color=#cc0000]# Mueve M[/color][color=#0000ff][br][/color][color=#999999]Valor(v, v + dt g)[br]Valor(M, M + dt v)[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]