H 01 Hogyan fog oroszlánt a matematikus?
A dinamikus geometria – jelenesetben a GeoGebra – igen látványos és sok tanulsággal járó alkalmazása az un[b]. záródási tételek[/b] szemléltetése, amelyek alaposan próbára teszik a szoftvert, és a program készítőjét is. Mint látni fogjuk, e feladatok kapcsán be kell vetnünk a „kitapogatás” módszerét, amelyet a matematikus szleng az oroszlánfogás módszerének szokott nevezni. [br][br]A záródási tételek egyik szép példája a[i] cikk-cakk tétel [/i]néven ismert összefüggés, amelyet először [b] [/b][url=http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-6366-4_3#page-2]Oene Bottema[/url][b] [/b](1901-1992) dán matematikus[b] [/b]fogalmazott meg és igazolt 1965-ben. [br][br](Bottema a geometrián belül főként kinematikában ért el a mérnöki gyakorlatban jól használható elméleti eredményeket.)
[b]Tétel:[/b] [br]Legyen adott egy [i]a=(O[sub]a[/sub],r[sub]a[/sub])[/i]és [i]b=(O[sub]b[/sub],r[sub]b[/sub])[/i] kör, valamint egy [i]d[/i] távolság úgy, hogy ezekre az adatokra teljesüljön, hogy az [i]a[/i] kör [u]bármely[/u] pontjához van olyan pontja a [i]b[/i] körnek, amely távolsága [i]d[/i], ugyanígy a [i]b[/i] kör [u]bármely[/u] pontjához van olyan pontja az [i]a [/i]körnek, amelyek távolsága ugyancsak [i]d[/i]. [br][br]Vegyünk fel [i]a[/i]-n egy tetszőleges [i]A1[/i] pontot, [i]b-[/i]n egy attól [i]d [/i]távolságra levő [i]B1[/i] pontot. Majd vegyük fel [i]a[/i]-n azt az [i][u]A1-[/u][/i][u]től különböző[/u] [i]A2[/i] pontot, amelyre szintén teljesül, hogy [i]A2B1=d[/i].[br][br]Az eljárást folytatva vegyünk most fel [i]b[/i]-n egy [i][u]B1[/u][/i][u]-től különböző[/u] [i]B2[/i]-t, melyre [i]B2A2=d, [/i]és így tovább. Így n lépésben egy[i] 2n[/i] egyenlő hosszú szakaszból álló [i]cikk-cakk[/i]ban felvett töröttvonalat kapunk, amelyl minden szakaszának az egyik csúcsa az [i]a[/i], másik a [i]b[/i] körre illeszkedik.[br][br]Ha az így kapott [i]A1, B1, A2, B2, …. An, Bn, A(n+1)[/i] cikk-cakkban felvett töröttvonalra teljesül, hogy [i]A(n+1)=A1[/i], vagyis egy [i]2n[/i] oldalú zárt (de többnyire önátmetsző) sokszöget kapunk, akkor ugyanezzel az eljárással ugyancsak [i]2n [/i]oldalú zárt sokszöget kapunk akkor is, ha [i]A1[/i] az [i]a[/i] kör [u]bármely[/u] pontja. [br][br]Röviden:[b]ha[/b] a két kört és a [i]d[/i] távolságot meg tudjuk úgy választani, hogy az így kapott töröttvonal az [i]n[/i]-edik lépésben záródjon, [u][b]akkor[/b][/u] abban az esetben is záródni fog, ha [i]A1[/i] helyett az [i]a[/i] kör bármely más pontjából indulunk is ki. (Ezért záródási tétel, és azért cikk-cakk, mert a töröttvonal pontjai cikk-cakkban hol az [i]a[/i] körre, hol a [i]b[/i]-re illeszkednek.) [br][br]Bottema tétele egy [u]egzisztenciális[/u] állítás: nem foglalkozik azzal a kérdéssel, hogy pl. egy adott [i]n[/i] értékhez miként kell megválasztanunk az adatokat úgy, hogy ez az eléggé bonyolult feltételrendszer teljesüljön.[br][br]Az alábbi applet szabadon választható paramétereivel célszerű kicsit kísérletezni. [br][br]Pl. az [b][i]n=7, r[sub]b[/sub]=12, k=8, d=10.68 [/i][/b] adatok esetén is (közel) zárt poligont kapunk, de [i][b]r[sub]b[/sub]=12, k=10 [/b][/i]esetben már nem teljesülnek a tétel feltételei
A fenti applet adatait változtatva érdeklődő olvasóinkban bizonyára felmerült néhány fontos kérdés:[br][br][b]1.) Egy programozástechnikai:[/b] Miként lehet legegyszerűbben megadni egy (elvileg végtelen) szerkesztés-sorozatot, amely a [i]2n[/i] darab [i]d [/i]hosszú szakaszból álló töröttvonalat előállítja?[br][br][b]2. ) Egy matematikai: [/b]Hogyan kell megadnunk az [i] [b]r[sub]b, [/sub][/b][/i][b] [/b][i][b]k[/b] [/i]és [i][b]d[/b][/i] értékeket ahhoz, hogy az [i]a [/i]körre illeszkedő [u]bármely[/u][i] A1[/i] pontból kiindulva létrejöjjön a keresett - töröttvonal? [br][br][b]3. ) Egy programozási, egyben matematikai: [/b] Egy megfelelően választott [b]n[/b], [i][b]r[/b][sub]b[/sub][b] [/b]és[b] [/b][/i] [i][b]k[/b][/i] számhármashoz hogyan lehetne minél pontosabban megkeresni azt a [i][b]d [/b][/i]értéket, amelyre a töröttvonal (majdnem) pontosan záródik?[br][br]Lényegében az lesz a feladatunk, hogy a GeoGebra eszköztárával minél pontosabban adjunk meg ilyen számnégyeseket, majd (egy animációval) szemléltessük a tételt, miszerint egy záródó töröttvonal kiindulópontja az [i]a[/i] kör bármely [i]A1[/i] pontja lehet.
[b]1.) kédrés: [/b][br][br]Kérjük, [b] [url=https://tube.geogebra.org/material/show/id/SexvYvMw]innen [/url] [/b] töltsék le a forrásfájlt, és próbálják meg alaposan tanulmányozni. [br][br]Az alábbi néhány - szerkesztővonalak rajzolását nem igénylő - paranccsal előállítottuk a töröttvonal első néhány elemét:[br][br][b]A1= Pont[a][br]B1=Metszéspont[b, Kör[A1, d], 1][br]A2=Tükrözés[A1,Egyenes[B1, O_a]][br]B2=Tükrözés[B1,Egyenes[A2, O_b]][br]C2=Szakasz[B1, A2] [br]D1=Szakasz[A1, B1] [br]D2=Szakasz[A2, B2] [br][br][/b]Az itt alkalmazott elnevezések biztosítják, hogy a kapott objektumok megjelennek a táblázat-kezelőben is.[br][br]A táblázatkezelő második sorát kijelölve, és az Excelben alkalmazott módon "lehúzva" minden sor örökli a felette lévő tulajdonságait, így előáll a keresett szerkesztéssorozat.
[b]2.) kérdés:[br][br][/b]A feltételek megfogalmazásból látszik, hogy a két kör szerepe szimmetrikus, ezért elegendő azzal az esettel foglalkoznunk, amelyben [b]r[sub]b[/sub] < r[sub]a[/sub] (=10).[/b] Másrészt nyilvánvalóan teljesülnie kell kell a [i][b]d[sub]min[/sub]= r[sub]a[/sub] +r[sub]b[/sub]-k< d < r[sub]a[/sub] - r[sub]b[/sub]+k = [i]d[sub]max [/sub][/i][/b] [/i]feltételnek. Ebből adódóan teljesülnie kell annak is, hogy [b][i]k<rb[/i][/b] (vagyis a két kör metszi egymást), mert ellenkező esetben nem teljesülne a d[i][sub]min[/sub] < d[sub]max[/sub][/i] feltétel.[br][br]Megfigyelhetjük, hogy e feltételek teljesülése esetén, ha az [i]A[/i] pont körbefut az [i]a [/i]körön, akkor [i]B [/i]ugyanolyan irányban fut körbe [i]b[/i]-n. [br][br]Ugyanezt tapasztalhattuk az első applet vizsgálata során is, bár ott szabadon választhattuk az adatokat.
[b]3.) kérdés: [/b][br][br]Először ismerkedjünk meg a feltételeknek eleget tevő adatok alapján előállított programmal, tanuljuk meg a használatát, vessük alá alapos tesztelésnek.[br][br]Ezt követően fogjuk elemezni ‑ ha nem is minden részletre kiterjedően ‑ azokat a programozói fogásokat, amelyek hasznunkra lehetnek más, hasonló témájú programok elkészítésekor is.
Az applet csúszkáival be tudjuk állítani úgy a keresett értékeket, hogy az A[sub]1[/sub] és A[sub]n+1[/sub] pont "elég" közel kerüljön egymáshoz. Ekkor a durva keresés jelölőnégyzetét [i]false[/i]-ra állítva rögzítjük a lépésszámot meghatározó[b][i] n[/i][/b], valamint az [i]a[/i] és [i]b[/i] kör kölcsönös helyzetét meghatározó [b][i]r[sub]b[/sub][/i][/b] és [b][i]k[/i][/b] paraméterek értékeit. Ezekhez kellene "finoman" beállítanunk [b][i]d[/i][/b] értékét úgy, a töröttvonal n lépésben záródjon.[br][br]Bár ez a három adat egyértelműen meghatározza azokat a [b][i]d [/i][/b]értékeket (több,de véges sok ilyen érték is létezhet), amelyekkel záródó töröttvonalat kapunk, azonban ennek a meghatározása nagyobb [i]n[/i] esetén [u]nincs[/u] használható képlet.[br][br]Marad az oroszlánfogás módszere. [br][br][color=#ff0000]Mint azt az egyetemen tanítják, a matematikus úgy fog oroszlánt, hogy először egy kerítéssel bekeríti a sivatagot, ahol [u]tudja[/u], hogy van legalább egy oroszlán. Egy újabb kerítéssel megfelezi a bekerített területet, megnézi, melyik felében [u]kell lennie[/u] az oroszlánnak. Ezt újból megfelezi, és így tovább, mindaddig, amíg az oroszlán bent nem lesz egy 2-szer 2 méteres ketrecben. :-)[br][/color][br] Van más elnevezése is a módszernek: ez a [u][url=http://hu.wikipedia.org/wiki/Bolzano-Weierstrass-t%C3%A9tel]Bolzano-Weierstrass tétel[/url][/u] , ill. az ezen alapuló keresési algoritmus. Lényege, hogy azt az intervallumot, ahol „ott az oroszlán” addig felezzük, míg elegendően rövid nem lesz. Persze mindig tudnunk kell, hogy a két részre vágott intervallumnak melyik felét kell majd tovább feleznünk. Az „elegendően rövid” feltétel jelen esetben az, amikor már a program egybeesőnek tekinti az [i]A[sub]1[/sub][/i]és [i]A[sub]n+1[/sub][/i] pontokat. [br][br][size=85]Ennek az eljárásnak a leggyakoribb alkalmazása: ha egy folytonos függvény a [i]p[/i] pontban negatív, a [i]q[/i] pontban pozitív értéket vesz fel, akkor a [p,q] intervallumon van a függvénynek zérushelye, amelyet ezzel az eljárással tetszőleges pontossággal meg tudunk határozni. (Persze vannak a felezési módszernél gyorsabb, de bonyolultabb eljárások is.)[/size][br][br] Ha kicsit játszadozunk az, [i][b]r[sub]b[/sub], k[/b][/i] és[b][i] d[/i][/b] csúszkákkal, hamar kiderül, hogy [i][b]r[sub]b[/sub][/b], [/i]vagy [b]k[/b] apró változtatásától is alaposan megváltozik a rajzunk. sőt, mint láttuk, ezektől függenek [b]d[/b] határai is. [br]Ezért a [i]d[/i] értékét fogjuk megkeresni az oroszlánfogás ‑ vagy ha így szebben hangzik ‑ az intervallumfelezés módszerével.[br][br] A [i]d [/i]csúszka színe is jelzi, hogy az[i] A[sub]n+1[/sub] [/i]végpont az [i]a[/i] körön [i]A[sub]1[/sub]-[/i]től pozitív, vagy negatív forgásirányba esik-e. Ha [i]d[/i]-t végighúzzuk a csúszkán,többször is változik a csúszka színe. (Lehet, hogy több oroszlán is van a sivatagban, ekkor szemeljünk ki közülük egyet.) [br][br]Olyan [i]d[/i] értéket keresünk, ahol [i]d[/i]-t növelve a csúszka színe [size=100][b][size=150][color=#0000ff]kékről[/color] [color=#ff0000]pirosra[/color][/size][/b][/size], vagyis az A[sub]n[/sub]O[sub]a[/sub]A[sub]n+1[/sub] szög előjele negatívból pozitívra vált.[br][br]Áttérve a finom keresésre megjelenik a [b][color=#0000ff]RÖGZÍT[/color][/b] gomb, amelyre kattintsunk rá egyszer a kék, egyszer az - előzőnél nagyobb [b][i]d[/i][/b] értékhez tartozó - piros állapotában. (Ezzel bekerítettük az oroszlánt) [br][br]Ha ezt megtettük, megjelenik a [b] [color=#a61c00]KERESS![/color][/b] gomb, amelyre szorgalmasan kattintgatva szemléletesen tárul elénk az intervallumfelezés módszere. Az[i][b] e[/b][/i] változó jelzi, hogy a kapott felezőpont a következő intervallumnak a felső, vagy alsó végpontja lesz-e. Egyúttal az is megfigyelhető, hogy miként kerül egyre közelebb az [i]A[sub]n+1[/sub][/i] pont [i]A[sub]1[/sub][/i] -hez. A GeoGebra akkor "látja úgy", hogy a két pont egybeesik, ha a koordináták különbsége kevesebb a számolás pontosságánál. Ez a legtöbbször 20-30 lépés után következik be.[br][br] Ezt követően [i]A[sub]1[/sub][/i]–et "kézzel", vagy animációval körbe forgatva kapunk egy igen szemléletes [u]sejtést[/u] , szemléltetést a cikk-cakk tétel helyességéről. Ez volt a célunk.
[b]Az applet eredményeinek a - matematikai - értékelése:[br][/b][br]Olvasóinkra bízzuk azt a vizsgálatot, hogy adott, [b][i]n, r[sub]b[/sub][/i] [/b]és [i][b]k[/b][/i] értékhez hány olyan [i][b]d[/b][/i] érék tartozhat,amelyre [i]A[sub]1[/sub]=A[sub]n+1[/sub][/i] . Pl. ha [i]n=7[/i]-re találtunk egy záródó esetet, akkor elvileg – de gyakorlatilag is – ugyanezekkel a paraméterekkel ugyancsak záródó esetet kapunk, ha [i]n[/i] többszöröse 7-nek, noha nagyobb [i]n[/i] érték egyre több számolást igényel, és a pontatlanságok összegződnek. [br][br]Úgy állítottuk be a programot, hogy amellett, hogy 15 jegy pontosan dolgozik, 10 értékes jegyet írjon ki. Ha a kiírást is 15 jegyűre állítanánk, már néha kaphatunk néhány tizedes jegynyi eltérést. De ne legyünk maximalisták. Megfigyelhetjük, hogy ha egy beállítás „majdnem jó”, akkor az eltérés ott a legnagyobb, ahol az [i]A1B1[sub] [/sub][/i]szakasz közel merőleges az O[sub]a[/sub] O[sub]b[/sub] egyenesre. Így A[sub]1[/sub]-ethozzuk ebbe a helyzetbe, és ott kezdjünk az oroszlánfogáshoz. Az az eredmény, amely „most jó”, A[sub]1[/sub] bármely helyzetében jó.[br][br]Gondoljuk végig: ha veszünk egy [i]n[/i] oldalú szabályos sokszöget, mint pl [color=#0000ff] [/color][b][url=https://tube.geogebra.org/b/783769#material/1372439]itt[/url] , [/b]akkor ezzel egy olyan speciális cikk-cakk sokszöget kapunk, amelynek a B pontoknál lévő szögei 180°-osak.[br]Ilyen adatokat könnyen be tudunk írni a fenti applet forrásfájljába, amelyet mind matematikai, mind programozási szempontból célszerű alaposan tanulmányozni.
Javasoljuk olvasóinknak, hogy innen [url=https://tube.geogebra.org/material/show/id/SexvYvMw]https://tube.geogebra.org/material/show/id/SexvYvMw[/url] [br]töltsék le ezt a forrásfájlt, és vessék alá minél alaposabb elemzésnek. [br][br]Mi itt most egyetlen fogásra hívjuk fel olvasóink figyelmét: megmutatjuk, miként lehet egy csúszka - jelen esetben a [b][i]d[/i][/b] - aktuális értékét úgy átadni egy másik változónak, hogy arra a későbbiekben ne hasson a csúszka mozgása. [br][br][b]1.[/b] - A [b]v[/b]nevű durva és finom keresést szabályozó jelölőnégyzet [u]frissítéskor[/u] működő scriptjébe beírtuk ezeket az utasításokat:[br][br] 1. min=Ha[v,min,0][br] 2. max=Ha[v,max,0][br] 3. lsz=Ha[v,lsz,0] [br][br]Ezzel értük el, hogy ha a [b][i]v[/i][/b] változó true-ról false-ra változik, akkor nullázza a [b][i]min[/i][/b], a [b][i]max[/i][/b] változókat, amelyek a vizsgált intervallum határai, valamint a lépésszámlálót, [b][i]lsz[/i][/b] -t amellyel elkezdődik a finom keresés folyamata, amelyet [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Ciklus_(programozás)]a matematikában iterációnak, a számítástechnikában ciklusnak [/url]neveznek.[br][br][b]2. [/b]A [b][color=#0000ff]RÖGZÍT[/color][/b] gombra kattintva ezt a két sript utasítást hajtjuk végre:[br][br] 1. min=Ha[min ==0,Ha[e<0,d,min],min][br] 2. max=Ha[max ==0,Ha[e>0,d,max],max][br][br]itt az [b][i]e [/i][/b]változó értéke mutatja, hogy a keresett ponttól pozitív, vagy negatív irányban tér-e el a [b][i]d[/i][/b] csúszka aktuális értéke, Így ha pl, a [b]min [/b]értéke még éppen 0, akkor megkapja [b][i]d[/i][/b] aktuális értékét, ha már korábban kapott 0-tól különböző értéket, akkor azt nem változtatja meg a kattintás. Ugyanez érvényes a [b]max[/b] változóra is. (Maga a [b][color=#0000ff]RÖGZÍT[/color][/b] gomb csak akkor használható, ha a finom keresés állapotában vagyunk - azaz v=false - valamint a [b]min[/b] és [b]max[/b] érékek valamelyike még nem kapott értéket.)[br][br][b]3. [/b]A[b] [color=#a61c00]KERESS![/color][/b][b] [/b]gomb minden megnyomásával az alábbi script parancsok lépnek működésbe mindaddig, amíg nem kaoptuk meg a várt végeredményt, vagyis az [b]OK=A1≟A_{n+1} [/b]változó értéke false:[br][br] 1. d=Ha[ ¬OK,(min +max)/2] [br] 2. min=Ha[e <0, d,min] [br] 3. max=Ha[e>0, d,max][br] 4. lsz=Ha[ ¬OK,lsz+1,lsz][br][br] - a [i]d[/i] változó új értéke az aktuális min és max értékének a számtani közepe lesz.[br] - ha a [b]min [/b]érték felöl "van az oroszlán", akkor ez kapja [b]d[/b] aktuális értékét,ha a másik oldalon, akkor [b]max [/b] [br][br]Ha e=0 akkor nem történik semmi, de ennél hamarabb észreveszi a program, hogy [b]OK,[/b] [color=#ff0000][size=150][b]megfogtuk az oroszlánt. [/b][/size][/color]
