Ecuaciones fundamentales de los triángulos esféricos
En este cuaderno se explica como deducir las ecuaciones fundamentales de los triángulos esféricos, empleando geogebra.
Table of Contents
- Cómo determinar los ángulos y lados de un triángulo esférico
- Cómo medir lados y ángulos de un triángulo esférico
- Derivación del teorema del seno de la trigonometría esférica
- Derivación del teorema del seno de la trigonometría esférica
- Derivación del teorema del coseno de la trigonometría esférica
- Teorema del coseno y teorema del seno por coseno
Cómo medir lados y ángulos de un triángulo esférico
En este applet podrás identificar los ángulos horizontal (xi) y vertical (eta) de un punto K en la superficie de una esfera de radio R = 1.
Aquí tenemos un triángulo esférico de lados y ángulos iguales, cuyos vértices descansan en cada uno de los ejes cartesianos y cuyos lados son iguales a 90º. La medida de cada lado es igual al ángulo subtendido por el segmento de círculo que lo contiene.
En este applet puede ver que el lado b es igual a 90º - eta
Ahora añadimos un sistema de ejes cartesianos x'-y'-z', siendo x'=x, y los ejes y' y z' están rotados un ángulo dzeta respecto a los ejes y y z respectivamente. Entonces vemos que c = dzeta.
Aquí se puede apreciar que 90º - xi es el ángulo complementario de xi y que también es el ángulo suplementario de A. Por tanto, A = 180º - (90º - xi) = 90º + xi
En este applet puede apreciar que, si R = 1, z = sen (eta), OL = cos (eta), x = cos (eta) cos (xi), y = cos (eta) sen (xi).
Aquí vemos que OD es la proyección vertical de OC en el plano x'y'. xi' es el ángulo entre el eje x' y el segmento OD. El arco BA es perpendicular al plano x'y' (en rojo) porque este arco está contenido en el plano y'z'. Entonces B = 90º - xi'.
Aquí se puede ver que eta' es el ángulo entre los segmentos OD y OC. Entonces el lado a es igual a 90º - eta'.
Derivación del teorema del seno de la trigonometría esférica
Aquí vemos los ángulos que determinamos por pura geometría, en el capítulo anterior. Puedes ver que solo nos falta el ángulo C.
Ahora derivaremos la ley de los senos. Para relacionar los ejes "yz" con los ejes "y' z' ", empleamos el punto M que se muestra en la figura. El radio de la esfera es R = 1.
De lo visto en el capítulo anterior, tenemos las siguientes ecuaciones:[br] [br]Grupo de ecuaciones (1)[br]x = cos [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math][br]y = sen [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math][br]z = sen [math]\eta[/math] [br][br]Grupo de ecuaciones (2)[br]x' = cos [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br]y' = sen [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br]z' = sen [math]\eta'[/math][br][br]Grupo de ecuaciones (3)[br]A = 90º + [math]\xi[/math][br]B = 90º - [math]\xi'[/math][br]a = 90º - [math]\eta'[/math][br]b = 90º - [math]\eta[/math][br]c = [math]\zeta[/math][br][br]Partiendo de la figura de arriba, tendremos las relaciones para "y' " y "z' ", (4), (5) y (6):[br]x = x' (4) [br]y' = cos [math]\theta[/math] (5)[br]z' = sen [math]\theta[/math], (6) [br][br]De la misma figura, tendremos las relaciones para "y" y "z" (7)[br]y = cos ([math]\theta+\zeta[/math] ) Ecuación (7a) [br]z = sen ([math]\theta+\zeta[/math]) Ecuación (7b) [br][br]Si aplicamos a las ecuaciones (7) las identidades trigonométricas del coseno de la suma de dos ángulos y del seno de la suma de dos ángulos, obtendremos el grupo de ecuaciones (8):[br]y = cos [math]\theta[/math] cos [math]\zeta[/math] -- sen [math]\theta[/math] sen [math]\zeta[/math] Ecuación (8a) [br]z = sen [math]\theta[/math] cos [math]\zeta[/math] -- cos [math]\theta[/math] sen [math]\zeta[/math] Ecuación (8b) [br][br]Al sustituir (5) y (6) en (8) obtenemos el grupo de ecuaciones (9):[br]y = y' cos [math]\zeta[/math] -- z' sen [math]\zeta[/math] Ecuación (9a) [br]z = z' cos [math]\zeta[/math] + y' sen [math]\zeta[/math] Ecuación (9b) [br][br]Como x = x', podemos combinar las ecuaciones (1) y (2):[br]cos [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math] = cos [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br][br]Sustituyendo el grupo de ecuaciones (3) en la ecuación anterior, tendremos:[br]cos (A - 90º) cos (90º - b) = cos (90º - B) cos (90º - a).[br][br]Usando la relación cos (90º - [math]\alpha[/math]) = sen [math]\alpha[/math], tenemos que:[br]sen A sen b = sen B sen a[br][br]Lo que es igual a:[br][math]\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}[/math][br][br]Si permutamos C por A o B, obtenemos el teorema del seno de la trigonometría esférica o segunda fórmula de Bessel (10):[br][math]\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}[/math][br][br]
Teorema del coseno y teorema del seno por coseno
Partiendo del applet de arriba, vemos que:[br][br]La proyección de OM sobre el eje Y' es: y' = cosθ Ecuación (5)[br][br]La proyección de OM sobre el eje Z' es: z' = senθ Ecuación (6)[br][br]La proyección de OM en el eje Y es: y = cos(θ + ζ) Ecuación (7a)[br][br]La proyección de OM sobre el eje Z es: z = sen(θ + ζ) Ecuación (7b)[br][br]Aplicando las identidades trigonométricas del seno de la suma de dos ángulos y del coseno de la suma de dos ángulos obtenemos:[br][br]y = cos(θ + ζ) = cosθ cosζ - senθ senζ[br][br]Sustituyendo y' = cosθ, z' = senθ en la ecuación anterior, obtenemos:[br] [br]y = y' cosζ - z' senζ Ecuación (9a)[br][br]De forma similar, obtenemos:[br][br]z = sen (θ + ζ) = senθ cosζ + cosθ senζ[br][br]Sustituyendo z' = senθ, y' = cosθ obtenemos:[br][br]z = z' cosζ + y' senζ Ecuación (9b)[br][br]Si reemplazamos las ecuaciones [math]z=sen\eta[/math], [math]z'=sen\eta'[/math] y [math]y'=sen\xi'\cdot cos\eta'[/math] en la ecuación (9b), obtenemos:[br][math]sen\eta=sen\eta'\cdot cos\zeta+sen\xi'\cdot cos\eta'\cdot sen\zeta.[/math][br][br]Si sustituimos allí las relaciones de los lados y ángulos del triángulo esférico, obtenemos:[br][math]sen\left(90º-b\right)=sen\left(90º-a\right)cosc+sen\left(90º-B\right)cos\left(90º-a\right)senc[/math].[br][br]Aplicando la identidad [math]sen\left(90º-\alpha\right)=cos\alpha[/math], obtenemos la ecuación (11):[br][math]cosb=cosa\cdot cosc+sena\cdot senc\cdot cosB[/math][br][br]Nuevamente, al reemplazar las ecuaciones [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADsAAAAOCAYAAACRkmStAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAkVJREFUSEvl1k3IjmkYBuDjI4wFC0wGKWUnZBor5T8pLFFWUv5N06z81gwLkaRpKEXKgg0bCxELFFZC+S+UIpO1qSGJzq/70ePteb709flpXPX29tz3/Vz3dZ7ndV7v2+U7iq4WrLNw6Qvw8Cd2tNyzCKdre7NxsfY8Bxdqz0vwALfLWnIfwj/VmSawxzAd+e6PzZ8J9Ds8L7lHo6plAX7FQ/yG8ZhbCq+XchJvsawsXsGP+B0bcA3bEZK6hWsCOw5PsB79cKABbM4s/wQS2lQbg5VF1b14hr8Qdf7ApJI7hKTG+vcebMJPuIEQlYjqL/AY22oE5OzVNrBZP4Ew9fcnAOrNkVFF1TCeVjuF/0rxUWtqSXoUKwoJt7APC8teVB9RyMlSrHekdEJVU0VS93OTssfxtLTvILxuQRNC6klfofMT37TF0NIdIXRy8dq/mIYA64yNGFzz+JkixgxsRUVghWkCguXnKlEn2PsYhpHlQFo4/mmKmeXyFNBGSArqjHVYWryUvbAf4C9xD/FsbJRIwWnt2CGdtrs2tCrVDmMVFmMe1pR3Q84A7GwCewdjca5ckDN3MbEHdXqztRYHy/DIAElUpMdrmQXx3+qOvYCLP6vpehNTMB/ni7ohbH95L+RsweUmsGExzCaGYHiN4d6A6umdtFzAZKJWd1bn470MqLN4VEsShXO+HrsKoKz9guu1zZAzEG+awPY1oK+ZLxarfnY+1NH2p+JrFtoXd2cw/lBT/SOv9MUF33yO/6uyjcR/V2DfAz52dA/RapVHAAAAAElFTkSuQmCC[/img], [img]data:image/png;base64,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[/img]y [img]data:image/png;base64,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[/img] en la Ecuación (9a) [math]y=y'cos\zeta-z'sen\zeta[/math] obtenemos:[br][math]sen\xi\cdot cos\eta=sen\xi'\cdot cos\eta'\cdot cos\zeta-sen\eta'\cdot sen\zeta[/math][br][br]Sustituyendo allí las relaciones de los ángulos y lados de los triángulos esféricos, obtenemos:[br][math]sen\left(A-90º\right)cos\left(90º-b\right)=sen\left(90º-B\right)cos\left(90º-a\right)cosc-sen\left(90º-a\right)senc[/math],[br]que es igual a (12):[br][math]cosA\cdot senb=-cosB\cdot sena\cdot cosc+cosa\cdot senc[/math][br][br]Las relaciones para los otros lados, se obtienen permutando A, B y C, a, b y c. Así obtenemos el teorema del coseno de la trigonometría esférica, o primera fórmula de Bessel (14):[br][math]cosb=cosa\cdot cosc+sena\cdot senc\cdot cosB[/math][br][math]cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA[/math][br][math]cosc=cosa\cdot cosb+sena\cdot senb\cdot cosC[/math][br][br]El último grupo de ecuaciones se llaman teorema del seno por el coseno de la trigonometría esférica, o tercera fórmula de Bessel (15):[br][math]cosA\cdot senb=-cosB\cdot sena\cdot cosc+cosa\cdot senc[/math][br][math]cosA\cdot senc=-cosC\cdot sena\cdot cosb+cosa\cdot senb[/math][br][math]cosB\cdot sena=-cosA\cdot senb\cdot cosc+cosb\cdot senc[/math][br][math]cosB\cdot senc=-cosC\cdot senb\cdot cosa+cosb\cdot sena[/math][br][math]cosC\cdot sena=-cosA\cdot senc\cdot cosb+cosc\cdot senb[/math][br][math]cosC\cdot senb=-cosB\cdot senc\cdot cosa+cosc\cdot sena[/math][br][br]Los grupos de ecuaciones (10), (14) y (15) son las expresiones básicas de la trigonometría esférica.