放物線の基本定理

Bunryu Kamimura, Apr 23, 2020

放物線とその準線には面白い性質がある。 そこで、放物線に外接する三角形を作図してみる。 すると、この三角形の心と焦点や極との間に面白い性質が見つかってくる。 それらの発見を一つずつシートにしていたら、そこには何かつながりがありそうだと感じる。 そこでこれらのシートをブックで一つにまとめてみる。 だんだんとそれらのシートの間の関係が見えてくる。 編集とはこういう作業。 今回は性質を見つけるだけではなく、証明も試みてみた。 でも、「垂心が準線上にある定理」は証明するのに一か月以上かかってしまった。（「極線が重心を通る定理」も一か月以上） 後から振り返ると、「垂心の性質」と「外接する三角形の外接円は焦点を通る」から自然に導くことができるのだけど、 あれやこれやとさ迷っていた時には道が見えなかった。 だからこそ証明できた時はとても嬉しかった。 そして、なぜ証明ができたのかをたどってみたら、それは山登りのような景色だった。 これらは逆に考えると、三角形に内接する円錐曲線の特別な場合ということが言える。 その関係も面白そう。

Table of Contents

  1. 放物線の準線
    1. 放物線の準線
    2. 放物線の接線の性質
    3. ｙ＝ax^2のグラフの焦点の求め方
  2. 放物線の外接三角形
    1. 放物線の外接三角形の外接円は焦点を通る
    2. 放物線の接線になる条件
    3. 放物線の接線の作る三角形の垂心は準線上にある
    4. 垂心の作る逆中点三角形
    5. 放物線の極線と垂線のある性質
  3. 放物線の極と極線
    1. 放物線の極線と接線の性質
    2. 放物線の極線が平行になるとき
    3. 放物線の極と極線
    4. 放物線の外接三角形の極線は逆中点三角形
  4. 放物線の外接三角形と重心
    1. 放物線の外接三角形の極線は重心を通る
    2. 放物線に外接する三角形の極と極線の通る点
    3. 放物線の外接三角形の極線は重心を通ることの証明
    4. 極と極線を変えない外接三角形の作図の仕方
  5. 完全四角形の作る放物線
    1. スタイナー点とスタイナー円
    2. 完全四角形の外接円は一点（焦点）で交わる
    3. 完全四角形から準線を作図する
    4. 完全四角形の作る放物線
  6. 極線上の点を極とする三角形極線
    1. 極線上の点を極とする三角形極線
    2. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
    3. 放物線の準線の垂線の相反共役線は放物線に接する
    4. 放物線の極と三角形の重心の極線は逆中点三角形の相反共役線

1.

放物線の準線

放物線の性質を大きく規定するものに準線と焦点がある。 その準線と焦点の関係が基本。

  • 1. 放物線の準線
  • 2. 放物線の接線の性質
  • 3. ｙ＝ax^2のグラフの焦点の求め方

1.1.

放物線の準線

放物線の直交する接線の交点の軌跡は直線になる。[br]これを準線という。[br]つまり楕円や双曲線の準円が、放物線な場合は無限の半径を持った円に変わる。
放物線の定義
接線が直交することの証明
FAの垂直二等分線は放物線の接線になる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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2.

放物線の外接三角形

放物線の外接三角形を作図する。 (1)この三角形の外接円は焦点を通る (2)この三角形の垂心は必ず準線の上にある なぜだろう？

  • 1. 放物線の外接三角形の外接円は焦点を通る
  • 2. 放物線の接線になる条件
  • 3. 放物線の接線の作る三角形の垂心は準線上にある
  • 4. 垂心の作る逆中点三角形
  • 5. 放物線の極線と垂線のある性質

2.1.

放物線の外接三角形の外接円は焦点を通る

「放物線に外接する三角形△ABCの外接円は焦点を通る」　証明は、最初に△ＦＫＡ∽△ＦＡＬを示します。接線を消してから、作図ナビゲーションで最初からたどると見えてきます。
証明
点Ａについて、△ＦＫＡ∽△ＦＡＬが言えるので[br]点Ｂについても△ＦＫＢ∽△ＦＢＣが言える。[br]よって、∠ＦＫＢ＝∠ＦＢＣ[br]円周角が等しいので、ＦＢＡＣは同一円周上にある。[br]
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

放物線の極と極線

放物線の極線とは接点を結んだ線。 ＧｅｏＧｅｂｒａにはこの極線の作図ができるアイコンがついている。 さて、問題は極はどう探せばいいのか。 これにはポンスレの定理を用いると簡単。 さて、放物線の場合は接点から準線への垂線が重要な意味を持つ。 このことを探ってみよう。

  • 1. 放物線の極線と接線の性質
  • 2. 放物線の極線が平行になるとき
  • 3. 放物線の極と極線
  • 4. 放物線の外接三角形の極線は逆中点三角形

3.1.

放物線の極線と接線の性質

証明は作図の順番で確かめよう。放物線の性質から、ＭやＨ,Ｅ,Ｊ,Ｇは中点ということがわかり、中点連結定理で平行ということがわかる。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

放物線の外接三角形と重心

いよいよ「[b]外接三角形の極の極線は重心を通る[/b]」ことを証明してみよう。 このことから「[b]三角形のオイラー線を極線とする極の作る内接円錐曲線は放物線である[/b]」ことが言える。 ＧｅｏＧｅｂｒａでいろいろ作図をしていると、「もしかしたら・・・」という新しい知見と出会うことがある。（これが証明のアイテムとしてとても有効） 例えば「外接三角形の逆中点三角形の頂点は極線上にある」とか。 そうすると、それを証明したくなる。 ところが、ＧｅｏＧｅｂｒａはとても正確なので、つい証明すべきことを仮定してしまうことがある。（例えば重心を結果として通るのに通っていると思い込む） そうならないためには作図の順番がとても大切。 だから作図の順番を下の「作図手順」で確かめながら考えてほしい。

  • 1. 放物線の外接三角形の極線は重心を通る
  • 2. 放物線に外接する三角形の極と極線の通る点
  • 3. 放物線の外接三角形の極線は重心を通ることの証明
  • 4. 極と極線を変えない外接三角形の作図の仕方

4.1.

放物線の外接三角形の極線は重心を通る

Ｂは直線ＩＥ上の点。Ｏは外接三角形の極でその極線は必ず重心Ｇを通ることがわかる。この極線がオイラー線と一致するのはどこだろうか？また、準線と一致する三角形はどんな形だろうか？
[size=150][url=https://bunryuk.hatenablog.com/entry/2020/05/10/115845]「放物線の外接三角形の極線は重心を通る」ことについて[/url][/size]
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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5.

完全四角形の作る放物線

なんと完全四角形から放物線を作図することができる。

  • 1. スタイナー点とスタイナー円
  • 2. 完全四角形の外接円は一点（焦点）で交わる
  • 3. 完全四角形から準線を作図する
  • 4. 完全四角形の作る放物線

5.1.

スタイナー点とスタイナー円

完全四角形の一直線ずつを省いた４つの三角形に対して、[br]外接円は一点に会する。この点をスタイナー点という。[br]外心は同一円周上にある。この円をスタナイー円という。[br]また、４つの三角形の垂心は一直線上にある。⇒試してみよう！
証明
[url=https://bunryuk.hatenablog.com/entry/2024/08/17/000000]ミケル点で遊ぶ - 文ちゃんのページ (hatenablog.com)[/url]
各三角形の垂心は一直線上に並ぶ。この直線を準線とし、Ｇを焦点とする放物線を描いてみよう。すると・・・。さらに、Ｇと４辺の対称点を作図してみよう。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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6.

極線上の点を極とする三角形極線

三角形の極線から内接円錐曲線を描くことができます。 以前、その極線上の点から三角形極線を再度作図すると、その極線は内接円錐曲線の包絡線となるということを発見しました。 でも、それを証明することができませんでした。 今回は放物線という特別な場合で考察したらどうなるかということの試みです。

  • 1. 極線上の点を極とする三角形極線
  • 2. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
  • 3. 放物線の準線の垂線の相反共役線は放物線に接する
  • 4. 放物線の極と三角形の重心の極線は逆中点三角形の相反共役線

6.1.

極線上の点を極とする三角形極線

放物線の外接三角形の極線上の点を極とする三角形極線は、元の放物線の接線となる。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

–

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