David Gutiérrez Rubio, Nov 27, 2017

En este libro veremos algunos conceptos sobre geometría espacial.

• 1. Representación de puntos en el espacio
• 2. Proyecciones de un punto en los ejes

A veces es necesario calcular la distancia de un punto a otro objeto geométrico más "grande" como una recta, un plano o una esfera. Para eso, es necesario primero saber qué punto de ese objeto más grande es el que está más cerca del punto. Es lo que se llama el punto de mínima distancia. Según si el objeto "grande" es un plano, una recta, u otro objeto, ese punto de mínima distancia cumplirá algunas propiedades, que vamos a ver.

• 1. Puntos, rectas y planos en el espacio
• 2. Distancia de un punto a un plano y a una esfera

Cuando se tienen 2 objetos más "grandes" que un punto, para calcular la distancia entre ellos hay que encontrar los puntos de dichos objetos que estén más cerca. Al igual que en el caso anterior, dichos puntos de mínima distancia cumplen algunas propiedades, dependiendo de qué objetos estemos hablando.

• 1. Distancias en el espacio

Podemos aplicar varios tipos de transformaciones a una figura. Los movimientos son las transformaciones más simples, porque conservan las medidas. Es decir, las longitudes, las áreas y los volúmenes no variarán al hacer la transformación. La homotecia se asemeja a realizar una ampliación, usando un factor de escala. Observa que en una homotecia las medidas sí varían, pero lo hace cada una de forma diferente según sea una longitud, un área, o un volumen.

• 1. Homotecias
• 2. Transformaciones en poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico que está delimitado por caras planas.

• 1. ¿Qué son los poliedros regulares?
• 2. Cubo estrellado

El desarrollo de un poliedro es simplemente desmontar todas sus caras y disponerlas de forma más o menos ordenadas en un plano. Se utilizar para visualizar mejor el cálculo de su superficie. Naturalmente, cada poliedro tiene un desarrollo diferente. Vamos a ver el desarrollo de una pirámide de base un cuadrilátero cualquiera.

• 1. Desarrollo de algunos cuerpos geométricos
• 2. Desarrollo de una pirámide de base cuadrilátero

Para resolver problemas en el espacio tenemos que razonar y proceder de forma similar que los problemas del plano. Analizando y deduciendo propiedades de los objetos que intervienen en el problema.

• 1. Sombra de una vela

La parametrización de una superficie en el espacio consiste en partir de un subconjunto del plano y aplicarle una función f:R^2->R^3 para describir dicha superficie. Así, a un punto del dominio inicial le corresponde un punto de la superficie. Dicho método de representar una superficie es muy útil para su estudio analítico. Por ejemplo, nos sirve para determinar sus puntos de silla, puntos singulares, geodésicas, etc.

• 1. Segmentos sobre la parametrización del toroide