三角形に内接する三角形と外接する三角形の作図

Bunryu Kamimura, Feb 4, 2019

この作図のためには、頂点を通る３円が一点で会することが重要な意味を持つ。 それらの三角形は全て相似であり、 その相似三角形がどのような三角形になるのかは、 ３円が会する点（中心）の位置による。 それを探ってみよう。

Table of Contents

  1. 三角形に内接する相似な三角形
    1. 生徒が発見した定理 Yonekura's theorem
    2. 生徒が発見した定理 Taziri's theorem
    3. 三角形に内接する相似三角形
    4. 渡辺の定理（生徒が発見した定理）
    5. 二つの３円の作る三角形
  2. アポロニウスの円
    1. 角の二等分線
    2. 外角の二等分線の比
    3. アポロニウスの円（内分・外分）
    4. アポロニウスの円　比から作成
    5. アポロニウスの円と角の二等分
    6. アポロニウスの円
  3. 等力点とフェルマー点
    1. 等力点の作る内接三角形は正三角形になる
    2. 等力点とフェルマー点（正三角形）
    3. 等力点の垂足三角形を回転させる
    4. 外接相似正三角形
    5. フェルマー点と等力点
    6. フェルマー点の垂足三角形
    7. 等力点とフェルマー点は等角共役
  4. 正三角形の中心の軌跡
    1. 等力点の作る内接正三角形の中心
    2. 等力点とフェルマー点の作る正三角形の中心
    3. フェルマー点の作る外接正三角形の中心の軌跡
  5. 三円交点が作る三角形
    1. 心を中心とする三円
    2. 三角形の内接三角形と外接三角形
    3. 作図の楽しさ（3円相似のまとめ）
    4. 三円相似と等角共役点
    5. ３円相似　内と外の比較
    6. 等角共役が相似

1.

三角形に内接する相似な三角形

回転の中心は外心です。 外心だと元の三角形と内接三角形は相似です。 このことは授業で子どもたちが発見しました。 米倉の定理、田尻の定理、渡辺の定理は三円相似で見事につながります。 同じ現象の異なった見え方なのでした。

  • 1. 生徒が発見した定理 Yonekura's theorem
  • 2. 生徒が発見した定理 Taziri's theorem
  • 3. 三角形に内接する相似三角形
  • 4. 渡辺の定理（生徒が発見した定理）
  • 5. 二つの３円の作る三角形

1.1.

生徒が発見した定理 Yonekura's theorem

生徒が発見した定理・・・米倉の定理
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

–

1.5.

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2.

アポロニウスの円

角の二等分線は２辺と底辺の比が等しくする。 では、底辺の比を変えないで、いつも角度が二等分されている頂点はどこにあるのだろうか。 △ABCの内角と外角の2等分線が対辺（の延長）と交わる点を直径の両端とする円をApolloniusアポロニウス円という。 この円周上の点は常に角度を二等分している。 では各辺のアポロニウスの円の交点は？

  • 1. 角の二等分線
  • 2. 外角の二等分線の比
  • 3. アポロニウスの円（内分・外分）
  • 4. アポロニウスの円　比から作成
  • 5. アポロニウスの円と角の二等分
  • 6. アポロニウスの円

2.1.

角の二等分線

これ本当？　　　　　左辺と右辺をつなぐものはいろいろあります。例えば△ABCの外接円を描き、中線との交点をEとすると・・・
次の課題
Dを動かさないようにＢを動かすと・・・[br]ＡＤ：ＤＣを変えないようなＢの軌跡は何だろうか？
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

等力点とフェルマー点

フェルマー点とは １、三角形の3辺に対し、それぞれを1辺とする正三角形を三角形の外側に描く。 ２、元の三角形の１つの頂点と，その向かい合う 元の三角形の辺を一辺とする正三角形の頂点のうち，もとの三角形と共有しない頂点とを結ぶ。 ３、2.の3直線が交わる点がフェルマー点である。 この作図についてはフェルマー点へ「[url]https://www.geogebra.org/m/Vf9u7y47[/url]」 等力点とは △ABCの内角と外角の2等分線が対辺（の延長）と交わる点を直径の両端とする円をApolloniusアポロニウス円という。∠A,∠B,∠Cに関する3つのApollonius円は各頂点を通り、2点S,S'を共有する。このS,S'を等力点という。等力点とは、角の二等分線の足へのベクトルが頂点へのベクトルを等分するところから名づけられたのではないかと推測されます。 この二つの点は等角共役点です。

  • 1. 等力点の作る内接三角形は正三角形になる
  • 2. 等力点とフェルマー点（正三角形）
  • 3. 等力点の垂足三角形を回転させる
  • 4. 外接相似正三角形
  • 5. フェルマー点と等力点
  • 6. フェルマー点の垂足三角形
  • 7. 等力点とフェルマー点は等角共役

3.1.

等力点の作る内接三角形は正三角形になる

Ｂを通る内接三角形の二角が等しくなることは簡単に証明できます。同様にＭを通る内接三角形も二角が等しくなります。この二つの三角形は等力点で回転させた内接三角形なので相似。よって３角が等しくなり正三角形となります。
回転した内接三角形が相似であることの証明
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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4.

正三角形の中心の軌跡

等力点とフェルマー点からできる正三角形の中心の軌跡を調べます。

  • 1. 等力点の作る内接正三角形の中心
  • 2. 等力点とフェルマー点の作る正三角形の中心
  • 3. フェルマー点の作る外接正三角形の中心の軌跡

4.1.

等力点の作る内接正三角形の中心

Dを動かしてみよう。内接する三角形は正三角形。オイラー線と赤い線（正三角形の中心の軌跡）は直交している。しかもこの線は等力点とフェルマー点の垂直二等分線。では、同様なことが外接正三角形でも言えるのだろうか？
証明
[url=https://masagon7.jimdo.com/]KONDOの定理[/url]
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

5.

三円交点が作る三角形

三角形の頂点と各辺の点を通る３円は一点で交わります。 この逆を考えると、一点から３円を作ることができます。

  • 1. 心を中心とする三円
  • 2. 三角形の内接三角形と外接三角形
  • 3. 作図の楽しさ（3円相似のまとめ）
  • 4. 三円相似と等角共役点
  • 5. ３円相似　内と外の比較
  • 6. 等角共役が相似

5.1.

心を中心とする三円

三角形の内接三角形と外接三角形の作図
「等力点の垂足三角形が正三角形になること」[br]「昔発見した、外心を中心に回転すると相似になること」[br]「三角形のミケルの定理」[br]これらの間につながりがあるのではないかと考えた。[br][br]フェルマー点（ｘ13）は、各辺の作る正三角形の頂点を通る円が一点で会する点。[br]頂点と辺上の点を通る３円は、一点で会する。[br]これらのことを踏まえて、[br]A：自由な点で会する３円（頂点と辺上の点）が作る内接三角形[br]B：自由な点と２頂点を通る３円が作る外接三角形[br]を作図し、自由な点を三角形の心に当てはめてみた。[br]すると、フェルマー点や等力点(x15,16）や外心だけでなく、[br]内心や垂心でも面白い性質を持つことがわかってきた。[br][br]水色の三角形が外接三角形（Hを動かす）[br]茶色の三角形が内接三角形（Eを動かす）[br]NはX(N)=TriangleCenter(A, B, C, n)で三角形の心[br][br]まとめると[br]「[b]三角形の頂点を通る3円が一点で交われば、内接三角形と外接三角形ができる。[br]　この一点を中心としてできる内接・外接三角形は、[br]　この中心が等角共役点ならば互いに相似になる。[/b]」[br][br]例えば、内心(x1)の等角共役点は内心なので、内接三角形と外接三角形は相似である。[br]フェルマー点(x13,14)と等力点(x15,16)は等角共役。[br]外心(x3)と垂心(x4)、重心(x2)と類似重心(x6)も等角共役。
内心は内接△と外接△が相似。外心は内接△と△ABCが相似。垂心は外接△と△ABCが相似。田尻の定理は外心（ｎ＝３）の場合で、等力点やフェルマー点の場合は正三角形になる（ｎ＝１５、１６にしてみよう）。
内心Iを中心とする内接三角形と外接三角形が相似であることの証明。
外接三円を拡大していくと、外接三角形は内接三角形になる。これもきれいな対称性の1つ。
等角共役点DとKの作る内接（垂足）三角形と外接三角形は互いに相似。Dを動かしてみましょう。
証明
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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