Evangelina Herranz Prada, E-Bot Hp, 2026. 9. 16.

Laboratorio de Matemáticas II · Doble Grado de Educación Infantil y Primaria · Universidad de Alcalá · 2026–2027. Selección y orientación de Evangelina Herranz Prada / E-Bot. Actualización: 19/10/2026. CÓMO TRABAJAR Predecir → explorar y construir → formular una conjetura → justificar → comunicar. El arrastre y las medidas aportan evidencia, pero no sustituyen una demostración. Registrar en el cuaderno la predicción, un caso significativo o contraejemplo y una conclusión razonada. RUTA DEL CURSO 22/09: construcciones y medida. 29/09: triángulos, ángulos y centros. 06/10: clasificación y congruencia. 13/10: movimientos y área. 20/10: consolidación de áreas y perímetros mediante descomposición y geoplano, sin anticipar Pitágoras. 03/11: semejanza, escalas y medida indirecta; Tales y Pitágoras como profundización profesional. Después: circunferencia y círculo, visualización espacial, superficie y volumen; datos, estadística y probabilidad experimental. PRIORIDADES Los capítulos indican un recurso principal y alternativas. No es necesario completar todas las variantes. Pitágoras avanzado, composición de movimientos, mosaicos, Escher y fractales constituyen un banco de profundización o ampliación. Los capítulos de datos y azar completan el bloque estocástico; el puente a Infantil permite analizar comparación y medida con apoyo visual y objetos reales. DATOS Y AZAR Comenzar con una pregunta, recoger datos sencillos y anónimos, representarlos y discutir qué se puede concluir. Comparar media, mediana y moda y analizar gráficos engañosos. En probabilidad: experimentar primero y contrastar después con el recuento teórico. Frecuencia relativa y probabilidad no son lo mismo; una racha no obliga a una compensación posterior. AUTORÍA Y REUTILIZACIÓN Se conservan las actividades y los créditos de sus autores. El núcleo del banco geométrico procede de Manuel Sada, Javier Cayetano y otros autores identificados en cada actividad. Las incorporaciones incluyen recursos de Rafael Losada, José Manuel Infante, Juan Carlos Ballabriga, Javier Cayetano, Tim Brzezinski y GeoGebra Content Team. Consultar los créditos y las licencias de cada recurso antes de adaptarlo; los pictogramas de ARASAAC incluyen condiciones propias. USO PRÁCTICO Abrir los recursos desde este libro. Probar los applets 3D por separado; acompañar la exploración con construcciones físicas cuando proceda. Las respuestas escritas en una actividad abierta pueden no conservarse como entrega: usar el cuaderno o la plataforma indicada por la profesora. El libro es un laboratorio de apoyo y no sustituye los enunciados de las prácticas vigentes. GUÍA DE ELECCIÓN PARA EL ALUMNADO Lee primero la descripción del capítulo: allí tienes el objetivo, el recurso recomendado, las alternativas y una tarea de cierre. Principal = primera elección; alternativa = otra representación o práctica; ampliación = profundización opcional. La prioridad expresa utilidad para este curso y este momento, no una calificación absoluta del autor. Si ya puedes justificar la idea, no repitas todas las variantes. EN CADA ACTIVIDAD 1. Escribe qué crees que sucederá antes de tocar los controles. 2. Cambia una variable y registra tres casos, incluido uno poco habitual. 3. Explica qué se conserva y por qué. 4. Construye un ejemplo propio o un contraejemplo. 5. Como futuro docente, propón una pregunta breve y un apoyo manipulativo. Si la escena solo muestra una animación, usa las preguntas del capítulo. Ver una figura moverse no basta para explicar la matemática. COMPROBACIÓN Y ENTREGA Puedes cerrar la actividad cuando explicas el objetivo con tus palabras, justificas un caso y aplicas la idea a otro. Usa cuaderno o plataforma de la profesora para conservar las respuestas. Los puntos de los juegos sirven para practicar; no constituyen por sí solos una nota de la asignatura. Algunas actividades antiguas presentan avisos de visibilidad o cargas lentas: utiliza la alternativa del capítulo si no se abre y comunica el título a la profesora.

OBJETIVO: clasificar por propiedades, construir contraejemplos y distinguir forma, posición y tamaño. PRIORIDAD: clasificación inclusiva de José Manuel Infante; después triángulos de área 1 para comparar construcciones. La propuesta de Cayetano es alternativa de práctica: usa primero su teoría y declara qué definiciones empleas antes del juego de respuesta única. Un cuadrado pertenece también a rectángulos y rombos bajo la clasificación inclusiva; si una pantalla fuerza una sola etiqueta, no convierte las demás en falsas. TAREA: dibuja un ejemplo poco prototípico y un contraejemplo; decide la clase por propiedades, aunque gires la figura. CIERRE: explica la inclusión entre familias. En triángulos de área 1, justifica base y altura y distingue figuras congruentes de figuras solo equivalentes en área.

• 1. Clasificación de cuadriláteros inclusiva
• 2. Contando triángulos
• 3. Jugamos con la clasificación de los Cuadriláteros

OBJETIVO: distinguir qué rectas se construyen y qué propiedad define cada centro. PRIORIDAD: mediatrices/circuncentro y bisectrices/incentro; después medianas/baricentro y alturas/ortocentro. Recta de Euler: ampliación. Las escenas de Sada permiten descubrir y reconstruir; Elementos notables permite recuperar y comprobar lo aprendido. Punto de equilibrio aporta una aplicación física del baricentro, especialmente valiosa para la formación docente. EXPLORA un triángulo acutángulo, rectángulo y obtusángulo. CIERRE: explica una propiedad sin leer la pantalla y dibuja un centro exterior. Para el equilibrio se supone una lámina triangular homogénea; compruébalo con cartón. En un equilátero los centros coinciden y no queda determinada una única recta de Euler. ACCESO DEL ALUMNADO: GeoGebra muestra avisos de visibilidad en algunas escenas antiguas de Sada; su acceso anónimo no está confirmado. Si no se abren, empieza por Elementos notables del triángulo (Cayetano) y usa Punto de equilibrio para el baricentro. Estas dos alternativas quedan como vía disponible antes de depender de las escenas antiguas.

• 1. Medianas y Baricentro de un triángulo
• 2. Mediatrices y Circuncentro de un triángulo
• 3. Alturas y Ortocentro de un triángulo
• 4. Bisectrices e Incentro de un triángulo
• 5. Recta de Euler
• 6. Punto de equilibrio de un triángulo
• 7. Elementos notables del triángulo

OBJETIVO: justificar sumas de ángulos, no memorizar la animación. RUTA: triángulo → cuadrilátero → polígono. Las tres animaciones del triángulo son alternativas: empieza por la primera y utiliza otra si necesitas una representación distinta; no son tres tareas obligatorias. En polígonos, la segunda propuesta es ampliación. ANTES: predice la suma. EXPLORA: modifica forma y tamaño; explica una descomposición en triángulos. CIERRE: deduce (n−2)·180° para un polígono simple y contrasta un caso. ACLARACIÓN: donde el primer recurso de polígonos dice «cuadrilátero», léase el polígono mostrado. ¿Existe ese triángulo? sirve después para comprobar condiciones de existencia; comparar ángulos sirve como práctica.

• 1. Ángulos de un triángulo (1 de 3)
• 2. Ángulos de un triángulo (2 de 3)
• 3. Ángulos de un triángulo (3 de 3)
• 4. Ángulos de un cuadrilátero
• 5. Suma de los ángulos de un polígono
• 6. Suma de los ángulos de un polígono (2)
• 7. ¿Existe ese triángulo?
• 8. Medimos ángulos mediante comparaciones

OBJETIVO: describir una isometría con sus datos y justificar qué conserva. RUTA: traslación → simetría axial → giro → simetría central; después composiciones. PRIORIDAD en composición: dos simetrías axiales y dos traslaciones; giros con el mismo centro después. Centros distintos y otras composiciones: ampliación. CORRECCIÓN DE CONSIGNA: algunas escenas repiten «relación entre el vector y las figuras». En simetría axial debes estudiar el EJE y la mediatriz de PP'; en giro, CENTRO, ÁNGULO y SENTIDO; en simetría central, el centro como punto medio y giro de 180°. TAREA: predice P', comprueba tres puntos y explica conservación de distancias. Orientación significa orden de recorrido de vértices: la simetría axial lo invierte. Compara las composiciones en ambos órdenes; busca casos especiales antes de afirmar que siempre difieren.

• 1. 1. Traslación
• 2. 2. Simetría axial
• 3. 3. El giro o movimiento de rotación
• 4. 4. Simetría central
• 5. 6. Ejemplos de figuras con ejes de simetría
• 6. 7. Ejemplos de figuras con simetría de giro
• 7. 10. Composición de traslaciones
• 8. 11. Composición de simetrías axiales
• 9. 12. Composición de dos giros con el mismo centro
• 10. 13. Composición de dos giros con distinto centro
• 11. 14. Composiciones de giro y traslación
• 12. 15. Otras composiciones

OBJETIVO: obtener fórmulas conservando área y distinguir área de perímetro. ORDEN DE INTERÉS: rectángulo → cuadrado → romboide → triángulo → trapecio y rombo → polígono regular. Las dos versiones del triángulo y del trapecio son representaciones alternativas: elige una y usa la otra para contrastar una explicación. Figuras compuestas: transferencia. Medidas de polígonos regulares: síntesis avanzada; cuadriláteros en una circunferencia: investigación opcional. Pick: ampliación en retícula, después de entender las áreas básicas. ANTES: estima en unidades cuadradas. EXPLORA: recorta/recompón sin huecos ni superposiciones; incluye una altura exterior en el romboide. CIERRE: explica qué longitud es base, cuál es altura perpendicular y por qué aparece 1/2. En figuras compuestas, muestra la descomposición y redondea solo al final.

• 1. Área del rectángulo
• 2. Área del cuadrado
• 3. Área del romboide
• 4. Área del triángulo (1 de 2)
• 5. Área del triángulo (2 de 2)
• 6. Área del trapecio (1 de 2)
• 7. Área del trapecio (2 de 2)
• 8. Área del rombo
• 9. Área de un polígono regular
• 10. Cálculo de áreas de figuras compuestas
• 11. Cuadriláteros en un Geoplano Circular
• 12. Medidas de un polígono regular
• 13. Ayuda para probar la fórmula de Pick

OBJETIVO: reconocer semejanza y usar una razón de escala. ORDEN DE INTERÉS: Geoplano y semejanza (ArZsuRZd), para construir y comparar → Tales con ejercicios (anbgykjq), para aplicar → espejos y alturas (faudw2bn), para transferir. Dividir en partes iguales (jqyxg4v5) trabaja fracciones en la recta; úsalo como complemento. Triángulos en posición de Tales (rzzhjdfb) es vídeo/PDF de consulta, con menor exploración. TAREA: construye dos figuras semejantes, anota tres pares de longitudes y justifica una razón común. Predice cómo cambian perímetro y área al duplicar la escala. CIERRE: explica por qué igualdad de ángulos y proporcionalidad son necesarias; no basta que «se parezcan». Respeta el redondeo o truncamiento que pide cada actividad.

• 1. Semejanza. Polígonos en un geoplano 5x5
• 2. Teorema de Tales
• 3. Teorema de Thales con espejos / semejanza de triángulos
• 4. Dividir en partes iguales con el Teorema de Tales
• 5. Triángulos en posición de Thales

OBJETIVO: relacionar ángulo central e inscrito que abarcan el mismo arco. ORDEN DE INTERÉS: 1) primera escena para descubrir; 2) segunda para reconstruir y justificar; 3) tercera para generalizar; 4) semicircunferencia como aplicación. No es necesario repetir las tres primeras si ya puedes explicar la relación. ANTES: predice qué medida cambia al arrastrar el vértice sobre la circunferencia. EXPLORA: comprueba tres posiciones, también una configuración poco habitual. CIERRE: dibuja un ejemplo y explica por qué el ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente; distingue observación de demostración.

• 1. Ángulos en una circunferencia (1 de 3)
• 2. Ángulos en una circunferencia (2 de 3)
• 3. Ángulos en una circunferencia (3 de 3)
• 4. Ángulos en una semicircunferencia

OBJETIVO: distinguir longitud de circunferencia y área del círculo. RUTA: longitud/diámetro → una de las dos aproximaciones poligonales al área. Las dos escenas poligonales son alternativas cercanas; la primera basta como inicio. Circle Area (By Peeling!), de Tim Brzezinski, aporta un contraste más interesante que repetir ambas: está en inglés y estas consignas permiten trabajarla en español. Predice qué sucede al aumentar el número de capas; explica por qué la figura escalonada aún no es un triángulo exacto. Relaciona base 2πr y altura r con A=πr². CIERRE: si duplicas el radio, ¿por qué la longitud se duplica y el área se cuadruplica? En un polígono con un número finito de lados el área solo aproxima la del círculo; la igualdad se obtiene como límite.

• 1. Longitud de una circunferencia
• 2. Aproximación al área de un círculo (1 de 2)
• 3. Aproximación al área de un círculo (2 de 2)
• 4. Circle Area (By Peeling!)

OBJETIVO: relacionar objeto 3D, desarrollo plano, superficie y volumen. RUTA PRIORITARIA: Cubos y baldosas para superficie → Cubos y cubitos / Contar cubos para unidad de volumen → ortoedro de Aranda para justificar capas → superficie de cuerpos para práctica. Cavalieri de Juan José López aporta la comparación conceptual antes de fórmulas de pirámide y cono. Los otros Cavalieri y animaciones sin preguntas son alternativas acompañadas, no tareas autónomas prioritarias. TAREA: predice antes de girar o desplegar; dibuja una vista y un desarrollo; explica qué se cuenta en unidades cuadradas y cúbicas. En desarrollos de cilindro, identifica altura y longitud 2πr; en cono, generatriz y arco. ACLARACIÓN: superficie total incluye bases/cortes planos; distingue área lateral o curva. La esfera y algunas escenas 3D cargan con dificultad: usa el dibujo y la explicación si no responden. CIERRE: cuerpos de igual volumen pueden tener distinta superficie.

• 1. Sólidos Platónicos
• 2. Cubos y baldosas
• 3. Superficie de Cuerpos Básicos
• 4. Cubos y cubitos
• 5. Volumen de un ortoedro (de una caja).
• 6. ¿Cuántos cubitos hay? (x4)
• 7. El principio de Cavalieri
• 8. Principio de Cavalieri 3D con Prismas Rectangulares
• 9. PRINCIPIO DE CAVALIERI
• 10. Volumen de una pirámide en relación con el prisma
• 11. Desarrollo del cilindro. Área del cilindro.
• 12. Principio de Cavalieri con Cilindro y Prisma Rectangular
• 13. Desarrollo de un cono. Área del cono.
• 14. Volumen del cono.
• 15. Volumen y superficie de la esfera
• 16. Volumen Cilindro=Cono+Semiesfera

OBJETIVO: distinguir probabilidad teórica y frecuencia observada. RUTA: un dado → muchas repeticiones → suma de dos dados → Carrera de ríos como problema de decisión. Para dos dados, enumera 36 pares equiprobables: las sumas no son equiprobables. ANTES: elige una predicción y explica su motivo. EXPLORA: compara series cortas y largas, registra frecuencias relativas y repite una serie. CIERRE: explica por qué estabilización no significa igualdad exacta ni compensación obligatoria de resultados. En Carrera de ríos, la versión incluida requiere intervención manual aunque el texto mencione ordenador: acuerda primero quién lanza y cómo se registra. Las puntuaciones automáticas orientan la práctica; no son por sí solas la calificación de la asignatura.

• 1. Lanzamiento de un dado: simulación y recuento de resultados
• 2. Ley de los grandes números en el lanzamiento de un dado
• 3. Lanzamiento de dos dados: simulación y recuento de resultados
• 4. Cruzar el río (dos jugadores)

OBJETIVO: interpretar la media, compararla con mediana/moda y leer gráficos críticamente. ORDEN DE INTERÉS: Idea gráfica de la media (Sada) para descubrir → Visualizar la media de un conjunto de datos (GeoGebra Content Team, español) como representación alternativa de equilibrio → Ballabriga para contrastar las tres medidas → Gráficas engañosas (Losada) para lectura crítica. Elige una primera representación de la media; no es obligatorio repetir ambas. ANTES: predice dónde quedará la media. EXPLORA: mueve un valor extremo y observa qué cambia. CIERRE: inventa dos conjuntos con igual media y distinta distribución; explica qué medida elegirías y por qué. Puede haber varias modas o ninguna moda única: algunas pantallas simplifican este caso. En gráficos, analiza origen y escala de ejes, unidades y tamaños gráficos antes de concluir.

• 1. Idea gráfica de la media
• 2. Visualizar la media de un conjunto de datos
• 3. La media aritmética, la moda y la mediana
• 4. Gráficas engañosas

OBJETIVO: traducir una comparación matemática a una experiencia manipulativa en Infantil. PRIORIDAD: comparar tres tamaños (Cayetano) como apoyo visual; no confundir «mediano» con mediana estadística. ANTES: declara el atributo: longitud, área, volumen o tamaño de una representación; «más grande» sin atributo es ambiguo. TAREA: compara primero objetos reales y después la pantalla; cambia posición, orientación y separación para comprobar que la comparación se mantiene. CIERRE DOCENTE: redacta una pregunta breve para niños, anticipa una respuesta razonable y explica cómo comprobarla con material. La pantalla complementa la manipulación y la conversación; diseña apoyos orales y evita depender solo del color.

• 1. Elige el tamaño MEDIANO. TEA
• 2. Elige el MAYOR de tres. TEA

OBJETIVO: comprender por qué a²+b²=c² requiere un triángulo rectángulo. ORDEN DE INTERÉS: exploración inicial → demostración tradicional → Bhaskara o Perigal como segunda prueba → problemas con pistas. Las demás disecciones son un banco opcional; elige una, no todas. Polígonos semejantes sobre los lados: ampliación posterior. Pitágoras líquido: demostración acompañada, con poca consigna autónoma. ANTES: compara un triángulo rectángulo y otro que no lo sea. EXPLORA: nombra las piezas, comprueba congruencia y explica que no hay huecos ni solapamientos. CIERRE: escribe qué áreas se conservan y resuelve un problema justificando la elección de la hipotenusa. Una animación y varios ejemplos apoyan la conjetura, pero no sustituyen la demostración.

• 1. Teorema de Pitágoras: comprobación
• 2. Teorema de Pitágoras: Demostración tradicional
• 3. Teorema de Pitágoras: Demostración de Bhaskara
• 4. Teorema de Pitágoras: Demostración de Perigal
• 5. Teorema de Pitágoras: Demostración de Pappus
• 6. Teorema de Pitágoras: 1ª demostración de Thâbit Ibn Qurra
• 7. Teorema de Pitágoras: 2ª demostración de Thâbit Ibn Qurra
• 8. Teorema de Pitágoras: Demostración de Leonardo da Vinci
• 9. Teorema de Pitágoras: Demostración de Anaricio - Göpel
• 10. Pitágoras líquido
• 11. Teorema de Pitágoras. Problemas
• 12. Extensión del Teorema de Pitágoras

OBJETIVO: explicar por qué unas piezas recubren el plano sin huecos ni solapamientos. PRIORIDAD: teselaciones semirregulares como entrada; Penrose como ampliación. Estas escenas necesitan esta consigna añadida: elige un vértice, cuenta las piezas que concurren y comprueba la suma de ángulos; identifica una unidad que puedas repetir. CIERRE: dibuja una pequeña teselación y explica qué condición local has utilizado. En Penrose, distingue repetición de piezas y periodicidad por traslación; que un fragmento parezca repetido no demuestra periodicidad global.

• 1. Jugando con mosaicos semirregulares
• 2. Mosaicos de Penrose-Conway

OBJETIVO: reconocer transformaciones que generan un mosaico. SELECCIÓN RECOMENDADA: Escher 20, 25 y 123 para contrastar ejemplos; los otros trece forman una galería opcional, sin jerarquía de calidad entre ellos. No es necesario completarlos todos. TAREA: elige uno, identifica la región fundamental y marca un vector de traslación; busca después ejes y centros de giro. No presupongas que todos tienen simetría axial: justificar que no encuentras un eje es parte del análisis. CIERRE: produce un boceto propio y explica cómo se repite; diferencia la simetría de una pieza y la del mosaico completo.

• 1. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 20
• 2. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 25
• 3. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 123
• 4. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 21
• 5. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 81
• 6. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 118
• 7. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 11
• 8. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 51
• 9. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 12
• 10. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 70
• 11. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 91
• 12. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 128
• 13. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 69
• 14. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 16
• 15. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 78
• 16. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano nº 37

OBJETIVO DE AMPLIACIÓN: observar iteración y distinguir número de piezas, escala, perímetro, área y límite. PRIORIDAD: triángulo de Sierpinski → Koch → alfombra de Sierpinski como contraste. Árbol fractal e Hilbert aportan nuevas preguntas; el resto es galería optativa, sin necesidad de ordenar por atractivo visual. TAREA COMÚN: trabaja solo etapas 0,1,2,3; completa una tabla con cantidad de piezas, tamaño relativo y área o longitud total; predice la etapa siguiente y explica la regla. En Koch puedes omitir el relato largo y centrarte en la tabla. No confundas muchos segmentos pequeños con longitud total pequeña, ni perímetro infinito con área infinita. Las escenas sin texto requieren esta consigna y acompañamiento. Las 3D pueden ser pesadas: no son requisito del recorrido básico.

• 1. Curva de Koch
• 2. Triángulo de Sierpinski
• 3. Alfombra de Sierpinski
• 4. De Koch a Sierpinski
• 5. Hexágono de Sierpinski
• 6. Polígonos de Sierpinski
• 7. Conjunto de Cantor
• 8. Polvo de Cantor
• 9. Curva de Peano
• 10. Curva de Hilbert
• 11. Curva de Hilbert en el espacio
• 12. Esponja de Menger
• 13. Hexacopo
• 14. Un árbol fractal
• 15. Árbol pitagórico
• 16. Fractal del T-cuadrado
• 17. Curva de Gosper
• 18. La isla de Gosper
• 19. La curva del manjar blanco (o de Tagaki)
• 20. Curva de Cesàro
• 21. Curva del Dragón
• 22. La curva del dragón (despliegue)
• 23. Curva de Levy
• 24. Curva de Moore
• 25. Aspas de Vicsek nº1
• 26. Aspas de Vicsek nº 2
• 27. La salchicha de Minkowski
• 28. Logo de la SEMCV Al-Khwarizmi
• 29. Otra curva de relleno