Proyectos atractivos en ESO
Este libro recopila las ideas que expuse en dos conferencias. La primera, el 16-12-2018 (día de mi cumpleaños) bajo el título de [i]Proyectos atractivos en ESO[/i], en el seminario [i]Experiencias de aula con GeoGebra[/i], realizado en el CIEM (Centro Internacional de Encuentros Matemáticos, Castro Urdiales). La segunda, el 06-04-2019 bajo el título [i]Representaciones y sistemas dinámicos[/i], en el VII Encuentro en Andalucía: GeoGebra en el aula, realizado en Jerez de la Frontera. [b]Resumen[/b] Uno de los retos a los que se puede enfrentar un profesor de matemáticas deseoso de que sus alumnos aprendan a realizar por sí mismos construcciones con GeoGebra es el de decidir qué tipo de proyectos puede proponer, así como cuáles son las claves para su desarrollo. ¿Qué clase de proyectos "geogebraicos" pueden resultar atractivos a alumnos de ESO? ¿Qué información previa debemos facilitarles para que puedan abordarlos? Presentaré algunas ideas que pueden clasificarse en tres grupos: proyectos de Diseños, proyectos de Modelos y proyectos de Robots. Con la incorporación de los guiones de GeoGebra, podemos crear escenarios en los que los objetos interactúen, ya sea buscando por sí mismos posiciones óptimas según el criterio deseado, ya sea adecuando su comportamiento a la posición de los demás objetos. Activando el rastro de algunos puntos, podemos visualizar su comportamiento en estos sistemas dinámicos, lo que favorece su análisis y comprensión. En las construcciones que presentaré resultará clave la noción de "movimiento", tanto desde el punto de vista matemático (vectores y parámetros) como de uso de GeoGebra (deslizadores, rastros, animaciones automáticas y guiones de GeoGebra). Además, se ofrecerá a los profesores información técnica no documentada sobre parametrizaciones de los lugares geométricos empleados por GeoGebra.
Table of Contents
- Cómo se hace... con GeoGebra
- Plantilla de información
- Animaciones automáticas
- Misma velocidad absoluta
- Sistema de referencia relativo
- Hiperboloide reglado
- Estadio superelíptico
- Diseños
- Diseños estáticos
- Los Elementos de Oliver Byrne
- Una comprobación dinámica
- Una demostración sencilla
- Diseños dinámicos 3D
- Esferas de Dandelin
- Teoremas del centroide de Pappus-Guldin
- Cortes del hipercubo
- Criba de Eratóstenes 3D
- Cuadrados mágicos impares
- Gráficos vectoriales
- Modelos
- Modelizando lo cotidiano
- Compresor de aire de paletas
- Modelizando la realidad física
- Modelizando la naturaleza
- Deconstruyendo un modelo
- Conmutatividad de los epiciclos
- La cuerda vibrante
- Versatilidad de los epiciclos
- La flor de Venus
- La súper hoja de cálculo: billares dinámicos
- Billar rectangular
- Billar cuadrado
- Billar circular
- Problema de Alhacén
- Billar elíptico
- Billar de Sinái
- Billar de Bunimóvich
- Toro con agujero
- Sistemas dinámicos
- Equilibrios dinámicos
- Robot entre enemigos
- Órbitas elípticas
- Autómatas
- Robot recíproco Pitágoras
- Robot punto Fermat
- Robot puntos Steiner
- Mediana geométrica de 4 puntos
- Mediana geométrica ponderada
- Mediana geométrica del tetraedro
- Robot problema nadador
- Torres de Hanoi (resolución)
- Laberinto
Plantilla de información
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/kxxrwxyg]Cómo se hace... con GeoGebra[/url].[/color][b][br][br]Contenidos[/b][br]Naturalmente, la información suministrada a los alumnos variará según sea el proyecto a realizar. Sin embargo, son de especial interés los siguientes contenidos de GeoGebra:[br][br][list][*]Puntos, vectores y curvas paramétricas.[/*][*]Deslizadores y animaciones.[/*][*]Listas y secuencias.[/*][*]Guiones básicos.[/*][/list][br]Nota: Los alumnos recibirán ayuda técnica siempre que lo necesiten, pero deberán explicar al resto de la clase y al profesor cómo elaboraron el proyecto, en todas sus fases.[br][br][br][b]Procedimientos pautados[/b][br][br]Para exponer algunos procedimientos usados en GeoGebra, resulta muy útil disponer de una plantilla ya preparada (como la que se muestra aquí), en la que lo único a variar en cada caso sea la lista de textos con las pautas. Los objetos usados por la propia plantilla son auxiliares, para ocultarlos de la Vista Algebraica.[br][br]Nota: Para realizar un salto de línea en un texto de la lista, usar \\n.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Diseños estáticos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/ubgttufy]Diseños[/url][/color]. [br][b][br]Proyecto 2D[/b]: [i]recrear una colección de diseños, como banderas, isotipos, logotipos, señales, emoticonos, ideogramas, pictogramas, rosetones, etc.[/i]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Modelizando lo cotidiano
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/b22w2ghe]Modelos[/url][/color].[b][br][br]Proyecto 2D[/b]: [i]modelizar situaciones cotidianas que supongan un cambio (un antes y un después). [/i][br][br]Nota: este tipo de proyecto es difícil, pues a los alumnos no se les facilita un objetivo concreto y han de realizar toda la construcción desde cero.[br][br]Los objetos fabricados por los humanos desde hace milenios se basan en una geometría relativamente sencilla (en comparación con la geometría de la naturaleza). Esto da pie a proponer a los alumnos a que intenten modelizar alguna de las innumerables situaciones que implican a estos objetos. [br][br]En este ejemplo (observado por el autor en el mundo real), una joven pareja se sienta a cenar en un restaurante. La mesa cuadrada que les asignan tiene un mantel con forma de camino de mesa colocado de modo que la pareja quedará sentada en lados opuestos de la mesa. “¡Demasiado lejos!”, deciden ambos. Así que, se recolocan en lados contiguos de la mesa. Cuando llega el camarero, recoloca el mantel para adaptarlo a la nueva situación.[br][br]El proyecto consiste en modelizar con GeoGebra esta situación, tal como se observa en la construcción adjunta. Para ello basta averiguar las nuevas coordenadas de una de las esquinas del mantel (ya que el ángulo será de 45°). Esto requerirá diversos esquemas y los cálculos derivados del uso sistemático del teorema de Pitágoras.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Billar rectangular
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/sgjxpvj6]Billares: orden y caos[/url].[/color][br][br]En un billar rectangular de dimensiones enteras (es decir, como no se especifica la unidad, basta que su cociente sea racional), podemos plantear un bonito problema. Intenta averiguar la respuesta correcta a la siguiente pregunta antes de activar la casilla Solución:[br][br]¿[i]Cuántos rebotes dará una bola enviada con un ángulo de 45° desde una esquina antes de alcanzar otra esquina?[/i]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Equilibrios dinámicos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/btjysbzp]Autómatas[/url][/color].[br][br]Existe una gran diferencia entre condición y cálculo. Por ejemplo, la condición para que un número real sea raíz de una función es que el valor numérico de la función, para ese número, sea cero. Calcular esa raíz es otro cantar.[br][br]Habitualmente los cálculos exigen procedimientos cuyo aprendizaje es largo y tedioso. Pero que no sepamos realizar esos cálculos no es impedimento para apropiarnos de la idea matemática que abordan. Estas ideas pueden parecer mucho más atractivas si sacrificamos algo de cálculo... o lo simplemente lo posponemos a un nivel más avanzado.[br][br][b]Proyecto 2D[/b]: [i]crear sistemas dinámicos que se estabilicen por sí mismos.[/i] [br][br]Pongamos dos puntos en el interior de un círculo. Imaginemos que tanto los puntos como el borde del círculo están cargados eléctricamente, con la misma carga. Los dos puntos se repelen entre sí, y son repelidos por la circunferencia, con intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inmediatamente, buscarán el equilibrio, que se alcanzará cuando los dos puntos se dispongan simétricamente respecto al centro del círculo y a una distancia entre sí igual a un tercio del diámetro.
Si añadimos más puntos, el equilibrio dará lugar a polígonos regulares, como cabría esperar. Aquí vemos cómo 10 puntos se equilibran formando el decágono regular (dependiendo de las condiciones iniciales, podría formarse también un eneágono con su centro).
No siempre resulta tan intuitivo predecir cuál serán las posiciones estables. En este caso, cinco puntos en un cuadrado encuentran, además de la distribución que cabría esperar, otras cuatro posibles distribuciones, simétricas entre sí.
Incluso pueden observarse situaciones en las que una levísima diferencia en las condiciones iniciales diferencie el orden del caos. En este ejemplo, los puntos se repelen entre ellos igual que antes, pero ahora además son atraídos, con doble intensidad, al origen de coordenadas.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Robot recíproco Pitágoras
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/btjysbzp]Autómatas[/url][/color].[br][br]Hasta ahora, el comportamiento de los robots quedaba determinado por vectores definidos a partir de los otros puntos. En este último apartado, crearemos robots que antes de emprender un movimiento [b]husmeen [/b]qué sucede a su alrededor y, basándose en los valores obtenidos, tomen una decisión.[br][br][b]Proyecto 2D[/b]: [i]crear demostraciones dinámicas automáticas[/i].[br][br]En este ejemplo, queremos demostrar el recíproco del teorema de Pitágoras. [br][br]Partimos de un [b]triángulo [/b]ABC y llamamos [b]dif [/b]la expresión abs(a²+b²-c²). Nuestro objetivo es que dif valga 0.[br]Creamos un deslizador t que va a servirnos para animar el vértice C (al que hemos activado el rastro), de forma que varíe con bastante frecuencia, por ejemplo, entre 0 y 1 con paso 0.01.[br][br]Otro deslizador inc, entre 0 y 0.1, nos servirá para establecer el avance en cada paso. En principio, el valor de inc será 0.1. [br][br]Finalmente, creamos dos objetos auxiliares: [b]C0[/b]=(0,0) y [b]dif0[/b]=0 que valdrán para mantener, respectivamente, los valores actuales de C y dif.[br][br]Ahora escribimos el programa de nuestro robot. Cada vez que se actualice el valor de t, se ejecutará el siguiente [b]guión [/b]de instrucciones (el símbolo # sirve para añadir comentarios): [br][br][color=#ff0000]# Fijamos los valores de partida dif0 y C0:[/color][br]Valor(dif0, dif)[br]Valor(C0, C)[br][br][color=#ff0000]# Variamos C y comparamos la dif yendo hacia el NE con dif0:[/color][br]Valor(C, C + (inc, inc))[br]Valor(C, Si(dif# [Repetimos estas tres instrucciones para los movimientos hacia el E, SE, S, SO, O, NO y N, es decir, (inc, 0), (inc, -inc), (0, -inc), (-inc, -inc), (-inc, 0), (-inc, inc) y (0, inc).][br][br][color=#ff0000]# Si la diferencia no se reduce, incrementamos la precisión dividiendo inc entre 10:[/color][br]Valor(inc, Si(dif==dif0, inc/10, inc))[br][br][color=#ff0000]# Cuando la diferencia sea nula, detenemos la animación (además, se mostrará el mensaje “proceso terminado”):[/color][br]Si(dif==0, IniciaAnimación(false))[br][br]Ya solo nos queda animar el deslizador t.[br][br]Nota: Si queremos volver a repetir el experimento, debemos recordar devolver inc al valor 0.1.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]