Suite géométrique

Christian Mercat, Jun 6, 2016

Différentes constructions pour comprendre en profondeur la suite géométrique [math](a^k)_{k\in\mathbb{N}}[/math].

Table of Contents

  1. Découverte de la suite géométrique
    1. La chambre obscure: machine à multiplier
    2. Multiplication par rotation et projeté
    3. Matriochka
    4. Guitare
    5. Homothétie et suite géométrique
    6. Suite géométrique vs perspective
    7. Carrelage dans une perspective à point de fuite
    8. Variante géométrique Se bercer d'illusions
    9. Chambre à fausse perspective
    10. Homothétie et voie de chemins de fer?
    11. Calculer avec des droites
    12. Toit du Duomo de Milan
    13. Suites géométriques dans le métro de Milan
    14. Carrelage à point de fuite
  2. Somme d'une suite géométrique
    1. Somme géométrique
    2. Nombre de matchs en 5 manches
    3. Décomposition du triangle: Somme de la suite géométrique de rapport 1/4
    4. Suite géométrique de rapport 1/4
    5. Décomposition du carré: Somme de la suite géométrique de rapport 1/2
    6. Décomposition du cube: Somme et suite des 1/2^n
    7. Rebond
    8. La base 2
    9. Pavages de rapport une racine carrée
    10. Galette de Zénon d'Énélée et ses frères
  3. Suite géométrique complexe
    1. Multiplication dans le plan complexe
    2. Règle à calcul
    3. Multiplication dans le plan complexe
    4. Suite géométrique réelle et complexe
    5. Spirale du chou
    6. Spirale de l'ammonite
    7. Vert ou bleu?
    8. Spirale de Fibonacci déployée
    9. Polygone et étoile
    10. Polygône dans une étoile
    11. Commutativité de la multiplication dans le plan complexe
    12. La commutativité de la multiplication
    13. Suite arithmético géométrique
    14. Spirale d'ammonite évolute
    15. Spirale du caméléon
    16. Persian spiral by Anita Chowdry
    17. Spirale de la cardabelle
  4. Fractales
    1. Flocon de von Koch
    2. Triangle de Sierpinski
    3. Courbe de Péano
    4. Arbre pythagoricien
    5. Flocon de von Koch intérieur
    6. Flocon de von Koch extérieur
    7. Rep-Tile: Le Sphinx
    8. Rep-Tile: Pavage par substitution d'un quadrilatère
    9. Rep-Tile L à 4 pièces
    10. Rep-Tile en L à 4 pièces
    11. Rep-Tile à trois triangles
    12. Rep-Tile A0>A1>A2>A3>A4
    13. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
    14. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
    15. Éponge de Vicsek
    16. Sierpinski 3D flexible
    17. Éponge de Menger
    18. Croix de Jérusalem fractale
    19. Arbre de Noël fractal (triangle de Sierpinski)
    20. mandelbrot
    21. Pascal modulo
    22. Courbe de Hilbert
    23. Fractales de polygones
    24. Sierpinski avec marge
    25. Armoiries du Portugal

1.

Découverte de la suite géométrique

  • 1. La chambre obscure: machine à multiplier
  • 2. Multiplication par rotation et projeté
  • 3. Matriochka
  • 4. Guitare
  • 5. Homothétie et suite géométrique
  • 6. Suite géométrique vs perspective
  • 7. Carrelage dans une perspective à point de fuite
  • 8. Variante géométrique Se bercer d'illusions
  • 9. Chambre à fausse perspective
  • 10. Homothétie et voie de chemins de fer?
  • 11. Calculer avec des droites
  • 12. Toit du Duomo de Milan
  • 13. Suites géométriques dans le métro de Milan
  • 14. Carrelage à point de fuite

1.1.

La chambre obscure: machine à multiplier

[br]Les outils de dessin de la renaissance, comme illustrés dans la gravure suivante d'Albrecht Dürer sont des machines à multiplier, en général par un facteur plus petit que un, c'est-à-dire à réduire un modèle réel de grande taille en un dessin qui tient sur une page.[br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/DURER2.png/320px-DURER2.png[/img][br][br]La chambre obscure est un outil à dessiner en perspective, une autre machine à multiplier, par un nombre négatif cette fois-ci.[br][img]http://www.nicolasleclerc.com/wp-content/uploads/2012/04/chambre-noire.jpg[/img][br]La multiplication n'opère donc pas seulement sur les nombres, mais sur les points de la droite et les points du plan (qui sont aussi des nombres). Cette opération de multiplication, c'est l'agrandissement et la réduction. Comme les points sont sans dimension, l'agrandissement n'agit pas sur eux de manière spectaculaire. Voyons le plutôt sur une image du plan.
Bougez le modèle et le plan de projection. Ils peuvent être placés soit en position "[url="http://www.ecse.rpi.edu/Homepages/wrf/pmwiki/Main/HomogeneousCoords"]Dürer[/url]", c'est-à-dire où la convergence des droites, l'objectif, se trouve être l'œil de l'artiste, avec le plan de projection entre le modèle et l'objectif, soit en position "[url="http://www.nicolasleclerc.com/tag/chambre-noir-aristote/"]chambre obscure[/url]" (déjà connue d'Aristote!), où l'objectif est un trou dans la chambre noire, le plan de projection étant par delà cet objectif. Dans le premier cas, le rapport des longueurs algébriques est positif, dans le deuxième, il est négatif.[br][br]Cochez la case "Réquerres" pour voir apparaitre une réquerre, mesurant les nombres positifs au dessus de l'horizon, négatifs en dessous. Quand c'est cette image qu'on agrandit ou réduit, cette machine devient une machine à multiplier. Rapprochez la réquerre à l'échelle 1 de la réquerre multipliée. Localisez le 1 de la réquerre transformée, "zoomez", et remarquez qu'il est aligné avec le rapport de l'autre (si le rapport d'agrandissement est de -0.56 par exemple, +1 est aligné avec -0.56 sur celle à l'échelle 1/1). Si vous vous demandez combien font -1.2 * -0.56, localisez -1.2 et lisez en face, sur la règle à l'échelle 1, le résultat.
– Christian Mercat

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

2.

Somme d'une suite géométrique

Quand la [i]raison[/i] [math]a[/math] d'une suite géométrique est plus petit que 1 (en valeur absolue), la suite converge vers 0 et la somme de ses termes converge aussi. C'est une jolie formule qui peut faire un peu peur au début: [math]\sum_{k=0}^{\infty}a^k=\frac1{1-a}[/math] pour [math]|a|<1.[/math] En voici des illustrations.

  • 1. Somme géométrique
  • 2. Nombre de matchs en 5 manches
  • 3. Décomposition du triangle: Somme de la suite géométrique de rapport 1/4
  • 4. Suite géométrique de rapport 1/4
  • 5. Décomposition du carré: Somme de la suite géométrique de rapport 1/2
  • 6. Décomposition du cube: Somme et suite des 1/2^n
  • 7. Rebond
  • 8. La base 2
  • 9. Pavages de rapport une racine carrée
  • 10. Galette de Zénon d'Énélée et ses frères

2.1.

Somme géométrique

Une construction géométrique qui montre que la somme géométrique [math]\sum_{k=1}^\infty a^k[/math] converge et est égale à [math]\frac a{1-a}[/math]. On représente un carré unité et ses successions par des homothéties de rapport [math]a[/math]. En joignant leurs coins, on obtient des triangles rectangles tous homothétiques, le premier est de côtés [math]a[/math] et [math]1-a[/math]. Par conséquent, pour [math]a<1[/math], la droite de pente [math]\frac{1-a}a[/math] coupe l'axe des abscisses en [math]\Omega(\frac a{1-a};0)[/math]. Et l'abscisse de ce point est, par construction la somme de la suite géométrique.[br]On peut aussi voir le triangle de côtés 1 et 1-a homothétique à [math]\sum _{k=0}^{\infty }a^k[/math] et 1.
Vous pouvez bouger le point [math]a[/math].[br][br]On peut également s'intéresser à la somme finie [math]\sum_{k=1}^na^k[/math] car on peut la compléter par "la queue" [math]\sum_{k=n+1}^\infty a^k[/math] pour obtenir [math]\sum_{k=1}^\infty a^k=\frac a{1-a}[/math]. Mais cette queue est clairement image de la somme entière par une homothétie de rapport [math]a^n[/math], donc [math]\sum_{k=1}^na^k=\sum_{k=1}^{\infty}a^k-a^n\sum_{k=1}^{\infty}a^k=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}[/math].
– Christian Mercat

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

3.

Suite géométrique complexe

En fait il est peut-être plus facile de comprendre une suite géométrique dans le plan comme un agrandissement ou une réduction. Et même une suite géométrique dont l'argument "tourne", des suites géométriques complexes.

  • 1. Multiplication dans le plan complexe
  • 2. Règle à calcul
  • 3. Multiplication dans le plan complexe
  • 4. Suite géométrique réelle et complexe
  • 5. Spirale du chou
  • 6. Spirale de l'ammonite
  • 7. Vert ou bleu?
  • 8. Spirale de Fibonacci déployée
  • 9. Polygone et étoile
  • 10. Polygône dans une étoile
  • 11. Commutativité de la multiplication dans le plan complexe
  • 12. La commutativité de la multiplication
  • 13. Suite arithmético géométrique
  • 14. Spirale d'ammonite évolute
  • 15. Spirale du caméléon
  • 16. Persian spiral by Anita Chowdry
  • 17. Spirale de la cardabelle

3.1.

Multiplication dans le plan complexe

Multiplier par un nombre, c'est envoyer 1 sur ce nombre et tous les autres proportionnellement. C'est encore vrai dans le plan complexe, multiplier par [math]z=r\,e^{i\theta}[/math] c'est faire agir un agrandissement ou une réduction (une homothétie de rapport [math]r[/math]), suivi d'une rotation d'angle [math]\theta[/math], c'est-à-dire une similitude.
Bougez le point bleu afin de visualiser comment la multiplication qui envoie le point 1 sur ce point agit sur le reste du plan. Lisez par exemple ce que fait le produit [math](1+i)\times(1+2i)[/math]. Observez ce que fait [math]i\times i[/math] et comprenez que [math]i[/math] est une racine carrée de -1.
– Christian Mercat

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

4.

Fractales

La plupart des fractales sont "auto-similaires", c'est-à-dire qu'on retrouve dans une réduction de la figure, toute la figure elle-même. Ca signifie que les suites géométriques ont beaucoup à y voir! Dans chacun des exemples, le flocon de von Koch, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, quelle est la longueur de la courbe à l'étape n? C'est une suite géométrique, en général divergente, mais l'aire délimitée par la courbe est peut-être une somme d'une autre suite géométrique convergente?

  • 1. Flocon de von Koch
  • 2. Triangle de Sierpinski
  • 3. Courbe de Péano
  • 4. Arbre pythagoricien
  • 5. Flocon de von Koch intérieur
  • 6. Flocon de von Koch extérieur
  • 7. Rep-Tile: Le Sphinx
  • 8. Rep-Tile: Pavage par substitution d'un quadrilatère
  • 9. Rep-Tile L à 4 pièces
  • 10. Rep-Tile en L à 4 pièces
  • 11. Rep-Tile à trois triangles
  • 12. Rep-Tile A0>A1>A2>A3>A4
  • 13. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
  • 14. Rep-Tile quadrilatère à quatre pièces
  • 15. Éponge de Vicsek
  • 16. Sierpinski 3D flexible
  • 17. Éponge de Menger
  • 18. Croix de Jérusalem fractale
  • 19. Arbre de Noël fractal (triangle de Sierpinski)
  • 20. mandelbrot
  • 21. Pascal modulo
  • 22. Courbe de Hilbert
  • 23. Fractales de polygones
  • 24. Sierpinski avec marge
  • 25. Armoiries du Portugal

4.1.

Flocon de von Koch

Un segment est remplacé par quatre segments, images par quatre similitudes. Le procédé est itérativement appliqué à la liste de segments obtenus. Le résultat à la limite est la courbe continue mais nul part dérivable, le flocon de von Koch.

Calculer la longueur de la courbe à chaque étape.
– christian.mercat1

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

4.24.

–

4.25.

–

Information