Koffer(rot) , Kofferdeckel(grün), Griff (G0), Schank(Wand), n Vektorpfeil in Griffrichtung[br]Drehung Rx Drehung Ry Verschiebung u_T
CAS 4 analytische Geometrie
Mit dieser Dokumentation stelle ich in GeoGebra CAS mögliche Verfahren zur Beschreibung und Darstellung der Objekte der analytischen Geometrie zusammen. Mittels CAS möchte ich die im schriftlichen Bearbeiten von Aufgabenstellungen der analytischen Geometrie üblichen Verfahren anwenden, auch wenn es für deren Lösung einen GeoGebra-Befehl geben sollte. Ich möchte damit die Überprüfung und Visualisierung eines Lösungsweges inklusive aller Zwischenschritte möglich machen. Bei der Umsetzung von mathematischen Sachverhalten für GeoGebraCAS treten Unterschiede in der Schreibweise auf Papier und im Programm auf. Ich baue die Aufgabenblätter so auf, dass sie nach Möglichkeit "durchrechnen": Ein Ergebnis wie x=2 übertrage in die Gleichung x+y+z = 0 mittels Ersetze-Befehl damit bei veränderten Aufgabenparametern ein sich dynamisch anpassendes Aufgabenblatt entsteht. Wer von einen CAS zu GGB wechselt wird sich am meisten darüber wundern, dass Variablen nur einmal belegt/definiert weren können, aber nicht geändert/überschrieben werden können. Das hat eine ganz eigenwillige Programmierung zufolge (z.B. kann man nicht auf einem Matrixfeld rechnen, sondern erzeugt immer neue Matrizen mit den zu ändernden Elementen) Aufgrund der exzessiven Produktpflege werden immer wieder Funktionalitäten verschlimmbessert oder verschwinden komplett - machmal kann ein Bug-Report Abhilfe schaffen. [list][*]Eingabehilfen: In der Zeile Input werden nach 3 Zeichen Auswahlisten für die passenden Befehlsfunktionen angezeigt. Die Platzhalter für die Argumente beschreiben welche Datentypen erwartet werden, z.B. Plane( <Point>, <Vector>, <Vector> ) - die Auswahl eines dieser Muster verlangt aber trotzdem von User, das er Sorge dafür trägt das auch der verlangte Datentyp übergeben wird! [/*] [*]LISTEN indexieren, statt umständlich mit ELEMENT(LISTE,nr) zu hantierten konnte man einfach LISTE(nr) schreiben um Element nr auszulesen - diese Funktionalität scheint nicht gesichert. [/*][*]→Es ist allerdings fast unmöglich bestehende Anwendungen umzuschreiben - müssten komplett neu aufgebaut werden...[/*] [*]VEKTOR/PUNKT Es entsteht der Eindruck, dass ggb keinen Unterschied macht (z.B. Skalarprodukt) - das ist aber nicht so, besonders bei Matrix*Vektor(Punkt)+Vektor(Punkt) ist es bisweilen schwierig vernünftige/konsistente Ergebnisse zu erhalten[/*] [*]VEKTOR/PUNKT/LISTE Vektoren/Punkte sind beschränkt auf die grafische Darstellung (x,y),z). Zur Bearbeitung höherdimensionaler Vektorräume muss auf Listen/Matrizen-Formen umgestellt werden und die notwendigen Transformationen werden nicht unterstützt. Es sind zum Teil recht aufwändige Konstruktionen notwendig.[/*] [*]MATRIX Nur rudimentäre Unterstützung für Matrizen-Operationen. Indizierung von Matrixelementen a(i,j) nur mittels ELEMENT() möglich - macht komplexe Matrixterme sehr unübersichtlich. Spaltenoperationen (Indizierung bzw. einfügen/entfernen) werden nicht unterstützt.[/*] [*]Die Stabilität lässt zum Teil (Classic CAS) sehr zu wünschen übrig - fast jedes Update bring neue Unwägbarkeiten (z.B. werden x(),y(),z()Koordinatenfunktionen ab einer bestimmten Version immer mal wieder in eine Multiplikation x*() aufgelöst - es kann auch passieren, dass man plötzlich vor einem leeren CAS-Fenster sitzt oder das CAS keine Eingaben mehr annimmt- usw. [/*] [/list] Funktionen mit unbestimmten Variablen müssen unbedingt mittels "Behalte Eingabe", bzw. "Keep Input", eingegeben werden, damit die Abhängigkeiten nicht ausgewertet werden (was wird multipliziert: Skalar oder Vektor), soll erst zur Laufzeit mit konkreten Werten entschieden werden: Beispiel: [math]lsg(a,b,c):=Löse(a x^2+b x +c=0) [/math] [Alt+Eingabe] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon] lsg(1,2,-3) [Strg+Eingabe] Berechne Numerisch Es ist unbedingt darauf zu achten, dass auch in den verwendeten Variablen und Übergabeparameter KEINE Konflikte mit existierenden/anderweitig verwendeten Variablen entstehen! Insbesondere ist auf unterschiedliche Namen für Argument bzw. Sequence-Index-Variablen bei verschachtelten Funktionsaufrufen a(aa):=i(1...n), b(bb):=j(1...n) -> a(b(...)) zu achten GGB6 (ggb App) CAS ist auf Touch-Geräten und in der Online App nur eingeschränkt nutzbar, z.B. gibt es kein Copy&Paste. Das Scrollen des CAS-Fensters ist sehr fragil - Touch Zeilennummer, erst dann versuche das Fenster zu ziehen. Achtung: Click-Kopie-Feature - beim Editieren von CAS-Zeilen bleibt die Arbeitszeile aktiv und wird evtl. beim nächsten Touch in eine leere/belegte Zeile kopiert - am besten man tippt nach jedem Edit einer Zeile in Grafik-Fenster um den Vorgang abzuschließen (ggb5/ggb6) Buch II ====> [url=https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP] CAS 4 lineare Gleichungssysteme[/url]
Table of Contents
- Darstellen von 3D-Objekten
- Punkte und Vektoren
- Skalarprodukt - Vektorprodukt
- Geraden im CAS
- Ebenen im CAS darstellen
- Normalengleichung - Normalenvektor
- Flächen Spat Volumen
- Punktemengen beschreiben
- Vektoren nach Winkel ausrichten
- VektorAddition
- Dyadisches Produkt (Tensor-Produkt)
- Kegel in Zylinder-Koordinaten
- Platonische Körper im Würfel (handmade)
- Dodecahedron packaged in a list
- Skalarprodukt
- Parameter-Flächen in der Ebene R3 ◯ Δ /_/
- Ebene (Kreisscheibe) mit Loch
- Schrägbild - Oblique y-Axis projector/constructor
- Intersect cylinder polygon/prism filling
- Symmetriegruppe regulärer Tetraeder
- Cavalier-Cabinet-Central-Projection xy-z(Φ=45°,α=63.43°)
- Oblique top shifted Polygon-Prism plus net
- Kugel-Packung im Tetraeder Gitter
- Sphere Tetrahedron Pyramid.ggb
- Conoid und Polya-Stöpsel
- Rubik's Cube - solve guide of solution steps
- Moveable cone + net - freibeweglicher Kegel + Netz
- Oblique cut of a regular polygon column
- Cylinder Net - Abwicklung schiefer Zylinder
- Kegel Parameterform x Ebene (cone x plane)
- Schrägbild-Projektor (Oblique x-Axis k=1/√2)
- Ring of Infinity - curve projection
- Schattenriß eines Zylinder-Silos
- Geraden
- Geraden Schnittpunkt - Schnittwinkel
- Lot von Punkt auf Gerade
- Abstand windschiefer Geraden
- Abstand Punkt - Gerade
- Spurpunkte einer Geraden
- Gerade durch Punkt schneidet windschiefe Geraden
- Ebenen
- Schnittgerade zweier Ebenen - Koordinatenformen
- Schnittgerade Koordinatenebene + Parameterebene
- Schnittgerade zweier Ebenen - Parameterformen
- Spur einer Koordinaten-Ebene
- Spur einer Parameter-Ebene
- Spiegelung an Ebene
- Schnitt von Parameter-Ebenen (Spalten-Reihenfolge variabel)
- Ebene durch Punkt senkrecht zu Ebene E1
- Gerade triff Ebene
- Ebene Parameterform x Gerade
- Ebene Koordinatenform x Gerade
- Formel Gerade Ebene
- Gerade Ebene Schnittpunkt Schnittwinkel
- Gerade mit Parameter schneidet Ebene
- Abstand Ebene- Gerade - anwenden Hessesche Normalform
- Kugel Ebene Kreis Gerade
- Ebene schneidet Kugel
- KugelUndGerade
- Kugel Ebene Gerade Punkt
- Schnittkreis zweier Kugeln mit gleichem Radius
- Gerade-Kugel Schnittpunkte Tangenten Pol
- Kreis aus 3 Punkten R³
- Kugel zwischen windschiefen Geraden
- Kugel auf Gerade durch Ursprung
- Prismen und Kugel - Zentrische Streckung Z(M,k)
- Tetraeder Basteleien CAS
- Kugel Approximation durch Pyramiden
- Kugel x Zylinder Schnittkurve
- Sphärisches Dreieck (Geo-Koordinaten)
- GeoKoordinaten Erdkugel
- Affine Abbildungen (homogene Koordinaten)
- Homogene Koordinaten GeoGebra CAS
- Homogene-Koordinaten Rotation/Translation/Netz/Durchdringung
- Affine Transformation mit Geraden (Homogene Koordinaten)
- Homogene Koordinaten Rotation um Achse
- Matrixfunktion für Drehung um Koordinaten-Achsen xyz
- Spiegelung an Ebene R³ (reflection matrices CAS)
- Spiegelung an Gerade R³ (reflection matrices CAS)
- Matrix Drehung um AchsenGerade durch Ursprung R³
- Spiegelung an Gerade R² (reflection matrices CAS)
- Spiegelung an sich schneidenden Geraden und Drehung
- Geraden Spiegelung R3
- Spiegelung an Ursprungsgerade R2
- Spiegelung an Ursprungsgerade R2
- Rotation R² homogene & kartesische KO
- KO Transformation & Drehung (homogene Koordinaten)
- Spiegelung an parallelen Geraden - Translation
- Shear - Scherung, Streckung - Dilate 3D
- Verkettung von Abbildungen
- Central & Parallel Projection Matrix construction
- CentralProjectionConstructionCAS.ggb
- ParallelProjectionConstructionCAS.ggb
- Parallel Projection curve-vector-function
- Orthogonale Projektion und Urbild/Bild-Flächenvektor
- Orthogonale Projektion - Abbildung Lotfusspunkt auf Ebene
- Parallel-Schiefe-Projektion - Schatten bei parallelen Strahlen
- Netz regelmäßiger Körper - Rotation Homogene Koordinaten
- Rotation R³-Achse als elementare x,y,z-Achsendrehungen
- Drehungen R² verknüpfen
- x-y-z-Achsen-Drehungen → Drehung um Ursprungsachse
- Inversion (spiegeln) am Einheitskreis O / Δ
- Cam Carpet Projektion und Spotlight Projektion
- Cube/Prism Net by List of Rotations over the edges
- Koordinaten-Transformation R² E-F-G (homogene Koordinaten)
- Drehachse-Drehwinkel 4 Matrix-Abbildung
- Gleitspiegelung - affine Abbildung und Matrix (homogene KO)
- Basistransformation affine Koordinatensysteme E(0;e₁,e₂)↔F(Q,f₁,f₂)
- Polygon Area - Polygon Net - dyn.Rotation homogene COS
- Central-Projection curve-parameter-function
- Projection on spherical surface
- Aufgaben
- Kegelschnitt Kegel.Zylinderkoordinaten x Ebene
- Gauß'sche Trapez-Formel
- Additions- Multiplikationstafel modulo m
- Kegel und Kugel Volumen Min/Max
- Kegel schrägschnitt halbes Volumen
- Maximaler Kegel in Würfel
- Kegel aus Kreisscheibe (Kegeltüte)
- Tangente an zwei Kreise (zwei Kugeln im Kegel)
- Kegel in Kegel upside down
- SCARA Robot
- Reflexion Lichtstrahl an Ebene
- Analoguhr - Stunden - Minutenzeiger + Sekunden
- diagonal intersection graph vertex count n-polygon
- Isometric coordinate system and Ein-Stein-Tile
- Aperiodic Monotile - Ein-Stein, für aperiodische Muster
- Ellipsen - verschiedene Wege zur Ellipse
- Rautenmuster-Parkett
- Koch's snowflake fractal 3D (Tetrahedron-Cube)
- Quadrate falten und die goldene Zahl ϕ
- Walmdach
- Koordinatensystem ( Erde, Mond, Satellit, Umlaufbahnen)
- Fasskreis - Ortskurve gleicher Winkel über Strecke
- 6EckPyramiden
- Weg-Zeit - Abfangkurs - Torpedo-Rechner
- Lichtquelle Gerade Kugel Schatten
Punkte und Vektoren
[b]1.1 Punkte - Vektoren[/b][br][br]Mathematisch werden Punkte eines Raumes/Ebene als waagerechtes Tripel angegeben - (Großbuchstaben als Name implizieren Punkt)[br][color=#1155Cc]P:=(1,2,1), [br]Q := (-1, 2, 2) [/color][br]während Vektoren als senkrechtes Tripel geschrieben werden (Kleinbuchstaben als Name implizieren Vektor)[br][table][tr][td][color=#1155Cc]v:=Vektor(P)[/color] oder [br][color=#1155Cc]w:=Vektor((-1,-2,0))[/color]. [/td][td][color=#1155Cc]v:=Vector(P)[/color] oder [br][color=#1155Cc]w:=Vector((-1,-2,0))[/color]. [/td][/tr][/table][br][br]Einen Vektor w an dem Punkt P ansetzen [br][table][tr][td][color=#1155Cc]u:=Verschiebe[ w, P][/color][/td][td][color=#1155Cc]u:=Translate[ w, P][/color].[/td][/tr][/table] [br]Für die Länge desVektors u, Betrag von u = |u| schreibe ich [br][color=#1155Cc]sqrt(u^2)[/color][br]an Stelle des GeoGebra-Befehls Länge[u]. [br][i]Es gibt keine Transponierung von Vektoren. Bei gemischten (Multiplikation,Addition) Operationen von Vektorketten ist Vorsicht angebracht - es braucht oft mal eine Zwangsdeklaration um Vektor oder Punkt zu erzwinden![/i][br][br]Vektor zwischen 2 Punkten[br][br]Der Vektor [b]v_1 von P nach Q[/b] = Vektor[Q - P] eingezeichnet mit[br][table][tr][td][color=#1155Cc]v_1:=Verschiebe(Vektor(Q-P),P)[/color][/td][td][color=#1155Cc]v_1:=Translate(Vector(Q-P),P)[/color][/td][/tr][/table][br][br][color=#444444]Skalarprodukt [color=#1155Cc]u*v[/color][/color], [color=#444444][color=#1155Cc]Dot(u,v)[/color][/color][br][math]{x \left(u \right) \; x \left(v \right) + y \left(u \right) \; y \left(v \right) + z \left(u \right) \; z \left(v \right)}[/math][math]\in R[/math][br][br]Vektor- oder Kreuzprodukt[br][color=#1155Cc]Kreuzprodukt[u, v][/color], [color=#1155Cc]Cross[u, v][/color] [size=85]oder[/size] [color=#1155Cc]u⊗v[/color][br][math]{\left( y\left(u \right) \; z \left(v \right) - z \left(u \right) \; y \left(v \right), z \left(u \right) \; x \left(v \right) - x \left(u \right) \; z \left(v \right), x \left(u \right) \; y \left(v \right) - y \left(u \right) \; x \left(v \right)\right)}[/math][math]\in R^3[/math][math]\bot u,v[/math]
Geraden Schnittpunkt - Schnittwinkel
(1) [math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)[/math] [br](2) [math]h:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)[/math][br][br](3)Berechne den Schnittpunkt S - Geraden gleich setzen g(t)=h(s)[br][br](4)[math]\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right) [/math][br][br]Schrittweise Lösung des GLS CAS Zeile 17[br] (5)[math]{\left( \begin{tabular}{r}2 \; t + 2 - s - 3 = 0\\t + 2 + 2 \; s = 0\\ -t - 3 - 2 \; s + 1 = 0\\ \end{tabular} \right)[/math] ... [math]{\left( \begin{tabular}{r}2 \; t - s - 1 = 0\\t + 2 \; s + 2 = 0\\ -t - 2 \; s - 2 = 0\\ \end{tabular} \right)[/math] <=> [math]\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}[/math][br](5) Die Gleichungen y,z sind linear abhängig z=-y, berechne [br](5) x+2*z => [math]- 5 s - 5 = 0 ... s = -1 [/math][br](5) s in x =>[math] 2t - (-1) - 1 = 0 ... t = 0 [/math][br][br](6) setze t in g(t) ein [math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+0\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)[/math][br](7) [math]S=\left(2,2,-3\right)[/math][br]...[br](12) Winkelberechnung über Skalarprodukt[br] [math]{r_1 \cdot r_2} = {\left|r_1\right| \; \left|r_2\right|} \cdot {\operatorname{cos} \left( \alpha \right) } \\ [/math][br]Als Schnittwinkel wird der kleinere Winkel angegeben. Bei Winkel über 90° die Differenz zu 180° angeben.[br]Anhand der Richtungsvektoren r_g und r_h kann ich im Applet erkennen, das der größere Winkel berechnet wird - ich könnte die Orientierung eines Richtungsvektors drehen, z.B. -r_g oder in einer Geradengleichung den Richtungsvektor abziehen, g: (2,2,-3) - t*(2,2,-1), um den kleineren Winkel zu erhalten: Ändern Sie g(t) und sehen Sie, wie das Applet reagiert!
Schnittgerade zweier Ebenen - Koordinatenformen
Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen als Parameterform bzw. Koordinatenform bieten sich unterschiedliche Verfahrenswege an.[br][br][b]Koordinatenform und Koordinatenform[/b][br]Die 2 Koordinatengleichungen ergeben ein unterbestimmes Gleichungssystem. Ich löse dieses GLS, wobei ich gleich eine der Koordinaten, sagen wir [b]z=t[/b], als Laufparameter der zu erwartenden Geraden festlege und [b]x[/b],[b]y[/b] in Abhängigkeit von t berechne. Das Ergebnis für (x,y,z) ist die Schnittgerade.
[table][tr][td]Mathe [br][/td][td]Eingabe [br][/td][td]Ausgabe[/td][/tr][tr][td][math]E1:2x+2y-z=6[/math] [/td][td][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]1[/size][/size] [size=85]E1(x, y, z):= 2x+2y-z-6[/size][br][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]2 [/size][/size][/color][/size][size=85]E_1:=E1(x,y,z)=0 [/size][/color][/size] [br][/td][td][math]{E1(x, y, z) \, := \, 2 \; x + 2 \; y - \; z - 6}[/math][br][math]{E_1: \, 2 \; x + 2 \; y - z - 6 = 0}[/math] [br][/td][/tr][tr][td][math]E2:6x+9y+2z=-22[/math][br][/td][td] [size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]3 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]E2(x, y, z):= 6x+9y+2z+22[/size][br][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]4 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]E_2:=E2(x,y,z)=0[/size][/color][/size] [br][/td][td][math]{E2(x, y, z) \, := \, 6 \; x + 9 \; y + 2 \; z + 22}[/math][br][math]{E_2: \, 6 \; x + 9 \; y + 2 z + 22 = 0}[/math] [br][/td][/tr][tr][td][math]\mathbf {z=t}[/math][br][math]E1:2x+2y-t=6[/math][br][math]E2:6x+9y+2t=-22[/math][br][math]E2-3E1[/math]:[br][/td][td][color=#1155Cc][br][/color][/td][td][br][/td][/tr][tr][td][math]+6x+9y+2t=-22[/math][br][math]{-6x - 6y \;+ 3t = - 18}[/math][br] [math]+ 3y + 5t = -40[/math][br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]5[/size][/size][/color][/size][/color][/size] [size=85]E2(x,y,t)-3*E1(x,y,t)[/size] [/color][/td][td][math]{5 \; t + 3 \; y + 40}[/math] [/td][/tr][tr][td][math]\mathbf {y = \frac{-40 - 5t}{3}}[/math] in E1[br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]6 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]Löse($5,y)[/size][/color][/td][td][math]{ \left\{ y = -\frac{5}{3} \; t - \frac{40}{3} \right\} }[/math][/td][/tr][tr][td][math]2x+2( \frac{-40 - 5t}{3})-t=6[/math][br][math]{-\frac{13}{3} \; t + 2 \; x - \frac{80}{3} = 6}[/math][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]7 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]Ersetze(E1(x,y,t),$6)[/size][/color][/td][td][math]{-\frac{13}{3} \; t + 2 \; x - \frac{98}{3}}[/math][/td][/tr][tr][td][math]{\mathbf { x = \frac{13}{6} \; t + \frac{49}{3} }[/math][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]8[/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=50] [/size][/color][/size][/color][/size]Löse($7,x)[/size][/color][/td][td][math]{ \left\{ x = \frac{13}{6} \; t + \frac{49}{3} \right\} }[/math][br][/td][/tr][tr][td][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{-40}{3}\\0\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}\frac{49}{3}\\\frac{-5}{3}\\1\end{matrix}\right)[/math] [br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]9 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]g(t):=Ersetze((x,y,t),{$6,$8})[br][/size][/color][/td][td][math]g(t):={\left(\frac{49}{3} \; t + \frac{13}{6}, -\frac{5}{3} \; t - \frac{40}{3}, t \right)}[/math][br][/td][/tr][/table]
[url=https://hawehofmann.files.wordpress.com/2017/05/geogebracas_beispiele2.pdf][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon]Alle Aufgabenschritte mit Erklärungen[br][/url]
Ebene Parameterform x Gerade
Ebene schneidet Kugel
Homogene Koordinaten GeoGebra CAS
Grundlagen Überblick
Ein Element v ∈R[sup]3[/sup] kann sowohl als Punkt im Raum als auch als Richtungsvektor interpretiert werden. Das Konzept [b]homogene Koordinaten[/b] stellt beide Objekte auch unterschiedlich dar als[br]Richtungsvektor [math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}v_{x}\\v_y\\v_z\\\textcolor{red}{0}\end{matrix}\right) [/math] oder Punkt im Raum [math]V=\left(\begin{matrix}v_{x}\\v_y\\v_z\\\textcolor{red}{1}\end{matrix}\right) [/math] [br][br]Mit A ∈ R[sup]3×3[/sup] ,eine Matrix, die eine lineare geometrische Transformation beschreibt, und v ∈ R[sup]3[/sup], ein Vektor lässt sich eine affine Transformation angeben[br][math]\vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x}+\vec{v}[/math].[br]Sie ist die Verknüpfung einer linearen Transformation mit einer Verschiebung. Jede affine Transformation lässt sich in homogenen Koordinaten durch eine Matrix der Form[br][math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\; &\;&\; \\ \;&A&\; \\ \;&\;&\; \end{matrix} & \begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\end{matrix}\\ \begin{matrix}0&0&0\end{matrix} &\textcolor{red}{1}\end{matrix}\right)[/math][br]darstellen. Insbesondere lassen sich Translationen/Verschiebungen (durch einen Vektor) in Matrixform schreiben. [br][br][url=http://www.math.kit.edu/iag2/~globke/media/koordinaten.pdf][icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon]http://www.math.kit.edu/iag2/~globke/media/koordinaten.pdf[br][/url]
Beispielaufgabe
[size=85]Die Ecken eines Koffers werden beschrieben durch die homogene Koordinaten:[br][br][math] {K_{1}=(0,0,0,1)^{\prime}, \quad K_{2}=(0,0,1,1)^{\prime}, \quad K_{3}=(-4,0,1,1)^{\prime}, \quad K_{4}=(-4 ; 0,0,1)^{\prime}} \\[br]{K_{5}=(0,2,0,1)^{\prime}, \quad K_{6}=(-4,2,0,1)^{\prime}, \quad K_{7}=(-4,2,1,1)^{\prime}, \quad K_{8}=(0,2,1,1)^{\prime}[br][/math][br][br]Der Deckel des Koffers wird begrenzt durch die Ecken [math] \( K_{2}, K_{3}, K_{7} \) ,\( K_{8} \)[/math]. Der Griff des Koffers befindet sich auf der Fläche mit der nach außen gerichteten Flächennormalen [math][br]n_{G V}=(0,1,0,0)^{t}[br][/math].[br]Der Schrank wird beschrieben durch die Eckpunktkoordinaten:[br][br][math]\( S_{1}=(12,0,2,1)^{t}, \quad S_{2}=(16,0,2,1)^{t}, \quad S_{3}=(16,0,0,1)^{t}, \quad S_{1}=(12,0,0,1)^{\prime} \) \\[br]S_{5}=(12,7,2,1)^{t}, \quad S_{6}=(16,7,2,1)^{t}, \quad S_{7}=(16,7,0,1)^{t}, \quad S_{8}=(12 ; 7,0,1)^{t}[br][/math][br][br]Geben Sie eine Transformationsmatrix M[sub]Gesamt[/sub] an, die den Koffer auf den Schrank ablegt, so daß die Fläche, auf der sich der Koffergriff befindet, die Flächennormale [math][br]n_{G N}=(0,0,1,0)^{t}[br][/math] erhält und der Kofferdeckel nach oben, in Richtung der positiven y- Achse, weist.[/size][br][br]Ich trage die K[sub]i[/sub] und S[sub]i[/sub] in GGB als R3 Vektoren ein - damit hab ich erstmal ein Bild mit dem ich arbeiten kann.
Ausgangs-Scene (Koordinaten Ki und Si eingetragen)
Vorbereitung zur Verarbeitung/Darstellung homogener Koordinaten
[b]Homogene Koordinaten[/b] ([math]\in R^4[/math]) [b]müssen als Liste dargestellt werden! [/b][br][br]Transfer Punkt/Vektor R[sup]3[/sup] in Liste R[sup]4[/sup] und umgekehrt[br][list][*]aus einem Punkt G[sub]0[/sub]=(-2,2,0.5) wird mit [math]\small Flatten\left(\{Vector\left(G_0\right)\}\right)[/math] eine Liste, die um die homogene Komponente zu erweitern ist [math]\small G0_H \, := Transpose(Join(Flatten(\{Vector(G_0)\}),\textcolor{red}{\{1\}}))= \, \left(\begin{array}{r}-2\\2\\0.5\\\textcolor{red}{1}\\\end{array}\right)[/math] - CAS only.[/*][*] Definiere eine Abbildungsmatrix R[sup]3[/sup]=>R[sup]4[/sup] [br][math]\scriptsize R32H:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{array}\right)[/math] mit Vektor v=(16,8,0) erhalte ich [math]v_H=\small Transpose \left(R32H \; Flatten \left(v \right) \right) =\left(\begin{array}{r}16\\8\\0\\0\\\end{array}\right) [/math] addiere {0,0,0,1} um einen homogenen Punkt zu erhalten.[/*][*]Aus R32H transponiert erhalte ich aus Homogenen KO wieder R3 Vektoren/Punkte[br][math]\scriptsize H2R3:=\;\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{array}\right)[/math] nehme G0[sub]H[/sub] von oben [math]\small G0_R:= \, Point \left( \left\{ H2R3 \; G0_H \right\} \right) = \, \left(-2, 2, \frac{1}{2} \right)[/math] [br]auch [math]\small G0_R: \,=Point(Flatten(Take(\; G0_H,1,3)))[/math] [br][/*][/list][br]Die Drehmatrizen R[sup]3[/sup] erstelle ich über eine User-Funktion R[sub]n[/sub](a,n1,n2,n3), a Drehwinkel, n1,n2,n3 Vektorkomponenten als Einheitsvektor ( |(n1,n2,n3)|=1) der Drehachse - die homogenen Komponeten müssen angebaut werden, z.B. Drehung -90° xAchse [br][br][math]R_x:=Transpose(Join(Transpose(Join(R_n(-90°,1,0,0),\{\{0,0,0\}\})),\{\{0,0,0,1\}\}))=[/math][math]\scriptsize \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)[/math][br]Drehmatrix R[sup]3[/sup] um 4. Zeile erweitern: [math]Join(R_n(-90°,1,0,0),\{\{0,0,0\}\})[/math][math]=\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{array}\right)[/math], transponieren und Zeile {0,0,0,1} anhängen und wieder zurück transponieren <{0,0,0,1}[sup]T[/sup] = Spalte>.[br][br]Die Translation (Verschiebung) entwickle ich aus der Einheitsmatrix R4[sub]Identity(4)[/sub], nehme nur die Zeilen 1-3 (Take) und hänge den um die homogene Komponente {1} verlängerten Verschiebevektor (S8-K1) dran:[br][math]T_k:=Transpose(Join(Take(Identity(4),1,3), \{Join(Flatten(Vector( S8-K1)),\{1\})\}))=[/math][math]\scriptsize \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&12\\0&1&0&7\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)[/math]
Einstellungen Grafik Basic y-Achse: y-Achse vertikal (y-axis is vertical)[br][br]Erstelle eine Liste K mit den K[sub]i[/sub] (R[sup]3[/sup]-Koordinaten) des Koffers und des Griffes G0.[br]K={K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8, G0}[br]Kofferdeckel=Polygon({K2, K3, K7, K8})[br]Koffer=Prism(Kofferdeckel, 1)[br]SchrankWand=Polygon({S7, S8, S4, S3})[br]Schrank=Prism(SchankWand, 2)[br][br][table][tr][td]CAS[br](1) Erstelle Liste K[sub]H[/sub] mit K[sub]i[/sub] in homogenen Koordinaten [br](2) R[sub]n[/sub] Drehmatrizen[br](3) R[sub]x[/sub] Drehe Koffer mit -90° um x-Achse [br](4) R[sub]y[/sub] Drehe Koffer mit 180° um y-Achse [br](5) T[sub]k[/sub] Translation (Verschiebungsvektor u[sub]T[/sub]) [br](6) KB[sub]H[/sub]:=T[sub]k[/sub] R[sub]y[/sub] R[sub]x[/sub] K[sub]H[/sub]i Punkte aus Liste K[sub]H[/sub] abbilden[br][/td][td]Bilder zeichnen in Algebra Fenster[br][br][br]Koffer'_1[sub] [/sub]=Rotate(Koffer, -90°, xAxis)[br]Koffer'_2[sub] [/sub]=Rotate(Koffer'_1, 180°, yAxis)[br]Koffer'_3[sub] [/sub]=Translate(Koffer'_2, Vector(S8))[br][br][/td][/tr][/table]Bilder KB[sub]H[/sub] nach R[sup]3[/sup] konvertieren in Liste[br]KB[sub]R3[/sub]=Sequence(Point(Flatten(H2R3 KB_H(i))),i,1,k_o)[br][br] [math] M_{Gesamt}\,=\,T_k\, R_y\, R_x\,=\, \left(\begin{array}{rrrr}-1&0&0&12\\0&0&1&7\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) [/math]