Cálculo
Cálculo para Bachillerato
Table of Contents
- Funciones
- Función Afín
- Función cuadrática
- Prob. de que una ecuación de 2º grado tenga raices reales
- Funciones potenciales (exponente natural)
- Raíces de una ecuación cuártica recíproca
- Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización
- Función de proporcionalidad inversa
- Funciones racionales con num. y denom. de hasta 2º grado
- Funciones exponencial y logarítmica
- Funciones transformadas
- Función definida en tres trozos
- Dominio y recorrido de una función
- Función(es) inversa(s)
- Composición de funciones
- Límites y continuidad
- Aproximación numérica al límite en un punto
- Límite y continuidad de una función en un punto
- Teorema del signo
- Teorema de Bolzano. Método de bisección.
- Ejemplos de aplicación del Teorema de Bolzano
- Método de iteraciones
- Derivadas
- Derivada
- Función continua no derivable
- Derivadas 1ª y 2ª
- La curvatura y los puntos de inflexión
- Desigualdad de Jensen
- El número de oro en la función de 4º grado
- Teorema del Valor Medio (Lagrange)
- Polinomio de Taylor
- Método de Newton-Raphson
- Problemas de optimización
- Caja de cartón
- Rectángulo de área máxima inscrito en parábola
- Rectángulos óptimos inscritos en una elipse
- Cilindro de volumen máximo inscrito en cono
- Cilindro y cono de volumen máximo inscrito en una esfera
- Doblando la esquina
- Escalera apoyada en muro intermedio
- Problema de Regiomontano
- Tres problemas de optimización
- Integrales
- Sumas de Riemann
- Aproximaciones a la integral definida
- Teorema del valor medio del cálculo integral
- Teorema fundamental del cálculo
- Volumen de la intersección de dos cilindros
Función Afín
Una función afín, a veces también llamada lineal, tiene una expresión analítica igual a un polinomio de primer grado:[br] [br] y = f(x) = m x + n[br][br]Si n = 0, se trata de una función propiamente lineal, o de proporcionalidad.
Con los deslizadores m y n puedes cambiar la pendiente y la ordenada en el origen.[br]Si seleccionas un deslizador con el ratón, puedes cambiar su valor con las teclas '+' y '-' o las de flechas.[br]También puedes mover el punto A para ver como cambian sus coordenadas.
Aproximación numérica al límite en un punto
Se aproxima el límite de la función f(x) en x[sub]0,[/sub] calculando el valor de la función en x[sub]0[/sub] ± 10[sup]-k[/sup], para k = 0..6. Cuando existe, también se presenta el valor de f(x[sub]0[/sub]). Se puede desplazar el punto rojo por el eje OX para ver el valor f(a) de la función para distintos valores de a. Estos valores son los últimos de la tabla. También puede animarse con el control de la esquina inferior izquierda.
Puede cambiarse la función y el valor de x[sub]0[/sub] en los campos de entrada del panel izquierdo. Las funciones definidas a trozos se pueden introducir como en el ejemplo:[br][br]f(x) = Si[ Condición1, Expresión1, Condición2, Expresión2, ..., ..., Expresión Alternativa][br][br]La función parte entera de x se introduce como floor(x), y la raíz cuadrada como sqrt(x).
Derivada
Se muestra las gráficas de una función [color=#0000ff][b]f(x)[/b][/color] y de una secante que pasa por dos puntos [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#38761d][b]B[/b][/color] próximos. Variando el valor de [color=#38761d][b]h[/b][/color] con el deslizador, puede acercarse o alejarse el punto [color=#38761d][b]B[/b][/color] del [b][color=#0000ff]A[/color][/b]. Cuando [color=#38761d][b]h = 0[/b][/color], [b][color=#38761d]B[/color] [/b]es igual a [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y la secante no está definida. Pero la recta límite a la que se aproxima la secante es la tangente en ese punto.
Para variar el punto [color=#38761d][b]A[/b][/color], debe moverse el punto blanco en el eje [b]Ox[/b].[br][br]La función puede modificarse en el campo de entrada en la parte superior del panel izquierdo.[br]Puedes hacer zoom para ampliar o reducir y desplazar la gráfica con los iconos de la barra de herramientas. También puedes hacer clic derecho en un espacio en blanco y cambiar la escala relativa de los ejes.
Caja de cartón
A partir de una pieza rectangular de cartón de dimensiones a·b, se construye una caja abierta, recortando cuatro cuadrados de lado x < b/2. Determinar el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo.
El número k es solo un factor de escala para que la gráfica de kV(x) se vea completa en el intervalo de interés (0, b/2).[br]Para ver que se trata de un máximo, también puede estudiarse el signo de la derivada primera, o razonar que V(0) = V(b/2) = 0, y la función V(x) debe tener entonces al menos un máximo en (0, b/2), y como solo hay uno posible, tiene que ser ese.
Sumas de Riemann
Se presentan las sumas de Riemman[color=#0000ff] inferiores (en azul)[/color] y [color=#38761d]superiores (en verde)[/color] de una función f(x) en un intervalo [a, b], así como [color=#ff0000]la diferencia entre ellas (rectángulos rojos)[/color] en el caso de que la función sea monótona en [a, b]. Estos rectángulos rojos son las diferencias entre los rectángulos verde y azul de cada subintervalo. Moviendo el deslizador, puedes cambiar el nº de subintervalos entre 1 y 100. Puedes cambiar la función y los límites del intervalo en las cajas de entrada del panel izquierdo. Por ejemplo, introduce algunos de estos datos:[br]i) f(x) = sin(x); a = 0; b = pi/2;[br]ii) f(x) = sqrt(1 - x[sup]2[/sup]); a = 0; b = 1;[br]iii) f(x) = ln(x); a = 1; b = exp(1);
Puedes desplazar la barra de separación de los dos paneles.[br]Nota: La figura esta diseñada para utilizar únicamente funciones continuas y derivables en el intervalo [a, b]. Si f(x) no cumple estas condiciones, se pueden presentar resultados extraños.