Cristian Roberto Miccerino de Almeida, Sep 29, 2026

Este Livro reúne as atividades desenvolvidas ao longo do curso [b]Geometria Olímpica com GeoGebra II — 2026[/b], uma formação de extensão universitária, gratuita e a distância, oferecida pela [b]Universidade de São Paulo (USP)[/b] e coordenada e ministrada pelo [b]Prof. Assoc. II Juan López Linares[/b]. O curso foi realizado no período de [b]14 de setembro a 9 de novembro de 2026[/b], com duração de oito semanas e carga horária de 30 horas. As atividades foram desenvolvidas por meio do [b]Moodle USP Extensão[/b], com encontros síncronos realizados pelo [b]Google Meet[/b] e utilização do software de geometria dinâmica [b]GeoGebra[/b]. O curso tem como foco a resolução, a construção, a exploração e a apresentação de problemas de Geometria, especialmente aqueles relacionados à [b]Geometria Olímpica, às Olimpíadas de Matemática e a vestibulares de alta concorrência[/b]. O uso do GeoGebra possibilita não apenas construir as figuras geométricas, mas também movimentá-las, investigar propriedades, formular conjecturas, verificar invariantes e apresentar visualmente as soluções. Este Livro foi elaborado como uma forma de [b]registrar as atividades propostas e apresentadas durante o curso[/b], reunindo as construções realizadas no GeoGebra em uma sequência organizada. Ao mesmo tempo, constitui um pequeno [b]portfólio do percurso de aprendizagem[/b], permitindo visualizar diferentes estratégias e ferramentas utilizadas ao longo da formação. As atividades aqui reunidas não devem ser compreendidas apenas como uma coleção de respostas. Elas representam diferentes formas de investigar problemas geométricos por meio da construção dinâmica, envolvendo conceitos como [b]potência de ponto, eixo radical, relações entre áreas, teoremas de Ceva e Menelaus, pontos notáveis de um triângulo, circunferências, triângulo pedal, reta de Euler, caminhos mínimos, desigualdades e transformações geométricas[/b]. Assim, o Livro pretende funcionar simultaneamente como [b]registro das atividades realizadas, coleção de construções dinâmicas e portfólio de aprendizagem[/b], podendo também servir como material de consulta e compartilhamento com os demais participantes do curso. [b]Objetivos[/b] Ao final do curso, espera-se que o estudante tenha desenvolvido conhecimentos relacionados ao uso do software gratuito [b]GeoGebra[/b], adquirindo maior familiaridade com seus recursos de construção, exploração e apresentação de objetos geométricos. Busca-se também proporcionar maior segurança na resolução de problemas de Geometria, especialmente aqueles presentes em [b]Olimpíadas de Matemática e vestibulares[/b], bem como desenvolver a capacidade de construir e apresentar soluções utilizando recursos de geometria dinâmica. [b]Avaliação[/b] A avaliação do curso está dividida em duas categorias: [b]Desafios (80%)[/b] e [b]Apresentação (20%)[/b]. Os Desafios são propostos ao final de cada tópico, sendo disponibilizado um desafio para cada encontro síncrono. A nota final dessa categoria é calculada por meio da média aritmética das atividades realizadas. Na categoria Apresentação, cada estudante deve apresentar para o restante da turma pelo menos uma das atividades desenvolvidas ao longo do curso, compartilhando sua construção e sua estratégia de resolução. [b]Ementa[/b] [b]A01:[/b] Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical. [b]A02:[/b] Relações entre áreas. [b]A03:[/b] Teoremas de Ceva e Menelaus. [b]A04:[/b] Pontos notáveis I. Baricentro. [b]A05:[/b] Pontos notáveis III. Circuncentro e Ortocentro. [b]A06:[/b] Pontos notáveis II. Incentro. [b]A07:[/b] Circunferências ex-inscritas. [b]A08:[/b] Triângulo Pedal. [b]A09:[/b] Reta de Euler. [b]A10:[/b] Caminhos mínimos e desigualdades envolvendo elementos geométricos. [b]A11:[/b] Transformações geométricas I. Translações. [b]A12:[/b] Transformações geométricas II. Simetria e Rotação. [b]A13:[/b] Transformações geométricas III. Inversão. [b]A14:[/b] Apresentações I. [b]A15:[/b] Apresentações II e Encerramento. [b]Atividades reunidas neste Livro[/b] Ao longo do curso foram propostas [b]13 atividades[/b], identificadas de D-1a a D-7a: [b]D-1a[/b] — Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical. [b]D-1b[/b] — Relações entre áreas. [b]D-2a[/b] — Teoremas de Ceva e Menelaus e divisão harmônica. [b]D-2b[/b] — Baricentro, simediana e relações métricas. [b]D-3a[/b] — Circuncentro, ortocentro, reta de Euler e círculo de nove pontos. [b]D-3b[/b] — Incentro e relações métricas associadas à incircunferência. [b]D-4a[/b] — Ex-incentros e circunferências ex-inscritas. [b]D-4b[/b] — Triângulo pedal, reta de Simson-Wallace e teorema de Carnot. [b]D-5a[/b] — Centros de um triângulo e reta de Euler. [b]D-5b[/b] — Caminhos mínimos, desigualdades e problemas olímpicos. [b]D-6a[/b] — Transformações geométricas: translações. [b]D-6b[/b] — Transformações geométricas: simetria e rotação. [b]D-7a[/b] — Transformações geométricas: inversão. A sequência das atividades acompanha o desenvolvimento dos conteúdos trabalhados no curso e evidencia uma ampliação gradual das ferramentas utilizadas na investigação de problemas geométricos. [b]Bibliografia e materiais de apoio[/b] [b]Playlist de videoaulas de cursos anteriores.[/b] Disponível em: https://www.youtube.com/playlist?list=PL8v7luSb9qi6tg7XIcqfG_hT-qU-r4qS_ [b]Construções passo a passo de Geometria Olímpica.[/b] Livro GeoGebra de acesso livre. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/vsfydv2v LÓPEZ LINARES, J. [b]Teorema de Pitágoras: Demonstrações Interativas no GeoGebra.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 57 p. ISBN 978-65-87023-26-7 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023267 LÓPEZ LINARES, J. [b]Transformação de Inversão: Teoria, Exercícios de Construção Geométrica, Problemas Olímpicos e Aplicações.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 105 p. ISBN 978-65-87023-25-0 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023250 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. [b]Geometria Olímpica com GeoGebra v.1.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 86 p. ISBN 978-65-87023-21-2 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023212 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. [b]Geometria Olímpica com GeoGebra v.2.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 115 p. ISBN 978-65-87023-23-6 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023236 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. [b]Geometria Olímpica com GeoGebra v.3.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 115 p. ISBN 978-65-87023-24-3 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023243 LÓPEZ LINARES, J. [b]Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 3.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2021. 82 p. ISBN 978-65-87023-14-4 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023144 LÓPEZ LINARES, J. [b]Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 2.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2020. 69 p. ISBN 978-65-87023-11-3 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023113 LÓPEZ LINARES, J. [b]Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 1.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2020. 82 p. ISBN 978-65-87023-10-6 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023106 LÓPEZ LINARES, J. [b]Soluções detalhadas para 20 problemas da Olimpíada Internacional de Matemática.[/b] Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos da Universidade de São Paulo, 2020. 81 p. ISBN 978-65-87023-04-5 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023045 NETO, A. C. M. [b]Geometria.[/b] Coleção ProfMat. Sociedade Brasileira de Matemática — SBM. 1. ed. 2013. 467 p. ISBN 9788585818937. [b]Considerações finais[/b] A elaboração deste Livro representa uma forma de organizar e preservar parte do percurso desenvolvido durante o curso [b]Geometria Olímpica com GeoGebra II — 2026[/b]. Mais do que reunir respostas para os desafios propostos, as construções apresentadas procuram registrar o processo de [b]exploração, visualização, investigação e comunicação de ideias geométricas[/b] proporcionado pelo GeoGebra. A geometria dinâmica permite que uma figura deixe de ser apenas uma representação estática e passe a constituir um objeto de investigação. Ao movimentar pontos, alterar configurações e observar propriedades que permanecem invariantes, é possível formular conjecturas e buscar demonstrações com maior compreensão da estrutura geométrica envolvida. Dessa maneira, este Livro constitui não apenas um registro das atividades realizadas, mas também uma pequena síntese da experiência de aprendizagem proporcionada pelo curso, reunindo diferentes conceitos, estratégias e construções desenvolvidos ao longo das oito semanas de formação.

A atividade aborda o conceito de potência de um ponto em relação a uma circunferência e sua utilização na resolução de problemas geométricos. O problema proposto considera um triângulo ABC, a bissetriz do ângulo A e a mediana relativa ao lado BC. A partir desses elementos, constrói-se uma circunferência que intersecta os lados AB e AC, buscando demonstrar uma igualdade entre segmentos. A construção no GeoGebra permite acompanhar dinamicamente as relações entre os pontos e verificar a permanência da propriedade durante a movimentação da figura. A atividade favorece a compreensão da potência de um ponto, do teorema das cordas e das relações métricas produzidas pela interseção de retas e circunferências.

• 1. A1a: Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical (D-1a)

Nesta atividade são exploradas relações entre áreas de triângulos, particularmente em uma configuração na qual três cevianas são concorrentes. Os pontos L, M e N pertencem aos lados de um triângulo ABC, enquanto AL, BM e CN se encontram em um mesmo ponto P. A proposta utiliza o GeoGebra para representar e comparar as áreas das diferentes regiões do triângulo. A exploração dinâmica permite perceber como as áreas se relacionam entre si e como razões de áreas podem ser utilizadas para obter informações sobre segmentos e pontos de concorrência.

• 1. A1b: Cálculo de áreas de diversas formas (D-1b)

A atividade trabalha os teoremas de Ceva e Menelaus, além de apresentar relações com outros resultados clássicos da geometria, como os teoremas de Monge, Pascal e Pappus e a divisão harmônica. O problema central considera os pontos de tangência da circunferência inscrita em um triângulo e solicita a demonstração de que as cevianas correspondentes são concorrentes no ponto de Gergonne. No GeoGebra, a construção possibilita visualizar os pontos de contato da incircunferência e a concorrência das três cevianas. A atividade evidencia como uma configuração geométrica pode ser investigada visualmente antes da formalização da demonstração por meio do teorema de Ceva.

• 1. A2a: Teoremas de Menelaus, Monge, Pascal, Pappus e Ceva. Divisão harmônica com régua (D-2a).

Esta atividade explora propriedades do baricentro e da simediana, relacionando-as a problemas métricos e de minimização. O problema proposto considera um quadrilátero convexo, pontos médios de dois lados e a interseção de suas diagonais, investigando uma condição equivalente à caracterização de um paralelogramo. A construção dinâmica permite analisar a posição do ponto de interseção das diagonais em relação ao baricentro de um triângulo associado. A atividade também amplia a discussão para problemas envolvendo a minimização da soma dos quadrados das distâncias, mostrando a conexão entre propriedades geométricas, relações métricas e pontos notáveis.

• 1. A2b: Baricentro e Simediano. Mínimo soma dos quadrados distâncias aos vértices e lados (D-2b).

A atividade concentra-se nos pontos notáveis circuncentro e ortocentro, explorando também a reta de Euler, o círculo de nove pontos e transformações por homotetia. O problema considera um ponto móvel sobre um lado de um triângulo e os ortocentros dos dois triângulos formados a partir desse ponto. A utilização do GeoGebra é particularmente importante para investigar a posição dos ortocentros enquanto o ponto é deslocado. A movimentação da construção permite identificar invariantes geométricos e formular conjecturas sobre ângulos e relações entre os diferentes centros dos triângulos.

• 1. A3a: Circuncentro e Ortocentro. Reta de Euler. Círculo de nove pontos. Homotetia. (D-3a)

Nesta atividade são estudadas propriedades do incentro, do teorema da bissetriz e das relações métricas determinadas pela circunferência inscrita. O problema proposto considera a mediana de um triângulo e suas interseções com a incircunferência, solicitando a determinação de um ângulo central. A construção no GeoGebra permite visualizar simultaneamente o triângulo, sua incircunferência, a mediana e os pontos de interseção. A exploração dinâmica ajuda a relacionar as propriedades angulares da circunferência com as relações métricas decorrentes das bissetrizes e das projeções dos lados.

• 1. A3b: Incentro. Teorema da bissetriz. Métrica devida ao incírculo. Medida das projeções. (D-3b)

A atividade amplia o estudo do incentro para os ex-incentros e as circunferências ex-inscritas, explorando o teorema da bissetriz externa e relações métricas associadas aos ex-incírculos. O problema proposto considera as bissetrizes de um triângulo cujo ângulo A mede 120º, buscando demonstrar uma perpendicularidade entre determinados segmentos. A representação dinâmica permite visualizar simultaneamente as bissetrizes internas e externas e investigar as relações angulares que surgem da configuração. A atividade evidencia como a extensão dos conceitos relacionados ao incentro conduz naturalmente ao estudo dos centros ex-inscritos.

• 1. A4a: Ex-incentros. Teorema da bissetriz externa. Métrica devida aos ex-incírculos. (D-4a)

Esta atividade aborda configurações mais sofisticadas envolvendo triângulos pedal, antipedal e ortológicos, além da reta de Simson-Wallace e do teorema de Carnot. O problema considera bissetrizes interna e externa de um ângulo e um ponto pertencente a uma circunferência, a partir do qual são construídas projeções perpendiculares sobre os lados do triângulo. O GeoGebra é utilizado para construir e investigar o triângulo pedal associado ao ponto móvel. A possibilidade de movimentar esse ponto permite observar a conservação de determinadas relações métricas e angulares e auxilia na compreensão de uma configuração que seria difícil de visualizar apenas por meio de uma figura estática.

• 1. A4b: Triângulos pedal, antipedal e ortológicos. Reta de Simson-Wallace. Teorema Carnot. (D-4b)

A atividade amplia o estudo dos pontos notáveis, explorando diversos centros associados a um triângulo, incluindo Longchamps, Exeter, Schiffler, Gossard, Bevan e Brocard, além das relações com a reta de Euler. O material propõe um problema relacionado à posição de um ponto médio e a uma relação métrica envolvendo elementos do triângulo. O principal diferencial da construção é permitir visualizar diversos centros simultaneamente e investigar suas relações geométricas. Com o auxílio do GeoGebra, torna-se possível experimentar diferentes triângulos e observar quais centros permanecem alinhados, quais pertencem a determinadas retas ou circunferências e quais propriedades dependem da configuração.

• 1. A5a: Centros de triângulo, Longchamps, Exeter, Schiffler, Gossard, Bevan e Brocard. Reta de Euler (D-5a)

Esta atividade apresenta problemas olímpicos relacionados a caminhos mínimos, desigualdade triangular, reflexão e transformações geométricas. Um dos problemas considera um quadrilátero convexo com uma condição envolvendo a soma de comprimentos de segmentos e solicita a determinação de um ângulo. A utilização do GeoGebra permite experimentar diferentes configurações e identificar a estrutura geométrica responsável pela igualdade ou desigualdade apresentada. A atividade destaca uma estratégia muito recorrente em Geometria Olímpica: transformar um problema de minimização ou de soma de distâncias em uma configuração mais simples por meio de reflexão, simetria ou construção auxiliar.

• 1. A5b: Jogos e problemas olímpicos envolvendo caminhos mínimos e desigualdades (D-5b)

A atividade introduz as transformações geométricas, com ênfase nas translações. O problema considera um trapézio e os pontos de interseção das bissetrizes de seus ângulos, estabelecendo uma relação entre a distância entre esses pontos e os comprimentos dos lados do trapézio. A construção permite investigar a configuração por meio do deslocamento de seus elementos e observar como as propriedades métricas são preservadas. A translação aparece como uma ferramenta para reorganizar a figura e estabelecer relações entre segmentos que inicialmente se encontram em posições distintas.

• 1. A6a: Transformações geométricas I. Translações (D-6a)

Nesta atividade são exploradas as transformações de simetria e rotação na resolução de um problema geométrico. Considera-se um ponto P no interior de um quadrado e, a partir dos vértices, são traçadas perpendiculares aos segmentos determinados por P e pelos vértices seguintes. O objetivo é demonstrar que essas quatro perpendiculares são concorrentes. A construção dinâmica permite investigar a posição do ponto de concorrência enquanto P se desloca no interior do quadrado. A simetria da figura e as rotações associadas à estrutura quadrada constituem ferramentas fundamentais para compreender e demonstrar a propriedade.

• 1. A6b: Transformações geométricas II - Simetria e rotação (D-6b).

A última atividade aborda a inversão geométrica, uma das transformações mais poderosas utilizadas na resolução de problemas de Geometria Olímpica. O problema proposto, da Olimpíada Russa de 2009, considera um triângulo, sua bissetriz interna, a circunferência circunscrita e uma segunda circunferência construída a partir de um diâmetro. A partir das interseções dessas circunferências, deve-se demonstrar uma propriedade envolvendo a simediana do triângulo. A construção no GeoGebra possibilita visualizar a transformação e investigar as relações entre pontos, retas e circunferências. A atividade encerra a sequência de transformações geométricas apresentando a inversão como uma ferramenta capaz de converter configurações aparentemente complexas em relações mais simples e tratáveis.

• 1. A7a: Transformações geométricas III - Inversão (D-7a)