Die klassischen Probleme der Antike

Katharina Wieser

Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung und Kreisquadratur bieten spannende Unterrichtsansätze!

Table of Contents

  1. Mit Zirkel und Lineal
    1. Zirkel und Lineal - Gerade parallel verschieben
    2. Zirkel und Lineal - Senkrechte (auf Gerade) durch Punkt
    3. Zirkel und Lineal - Strecke beliebig vervielfachen
    4. Zirkel und Lineal - Strecke beliebig teilen
    5. Zirkel und Lineal - Quadratwurzel
    6. Zirkel und Lineal - Addition von Winkeln
    7. Zirkel und Lineal - Winkel halbieren
    8. Zirkel und Lineal - Winkel vervielfachen
  2. Mittlere Proportionale
    1. Vom Rechteck zum Quadrat mittels des Höhensatzes
    2. Umwandlung eines Quadrates in ein Rechteck
    3. Konchoide
    4. Konchoide - Ermittlung der mittleren Proportionalen
    5. Kissoide
    6. Sehnensatz des Ptolemaios
  3. Würfelverdopplung
    1. Würfelverdopplung - Quasikonstruktion
    2. Würfelverdopplung - Mechanische Konstruktion nach Platon
    3. Würfelverdopplung - das Mesolabium von Eratosthenes
    4. Würfelverdopplung - Proportionalen von Hippokrates
    5. Würfelverdopplung - Menaichmos: Parabel
    6. Würfelverdopplung - Menaichmos: Wurzelfunktion
    7. Würfelverdopplung - Näherung von Stifel
  4. Winkeldreiteilung
    1. Winkeldreiteilung - Neusis nach Pappos
    2. Winkeldreiteilung - Näherung von Dürer
    3. Winkeldreiteilung - Quadratrix
    4. Winkeldreiteilung - trigonometrisch betrachtet
    5. Winkeldreiteilung - Neusis von Jordanus Nemorarius
    6. Winkeldreiteilung - Näherungslösung
    7. Winkeldreiteilung - mit der Konchoide
  5. Kreisquadratur
    1. Kreisquadratur - Näherung von Dürer

1.

Mit Zirkel und Lineal

  • 1. Zirkel und Lineal - Gerade parallel verschieben
  • 2. Zirkel und Lineal - Senkrechte (auf Gerade) durch Punkt
  • 3. Zirkel und Lineal - Strecke beliebig vervielfachen
  • 4. Zirkel und Lineal - Strecke beliebig teilen
  • 5. Zirkel und Lineal - Quadratwurzel
  • 6. Zirkel und Lineal - Addition von Winkeln
  • 7. Zirkel und Lineal - Winkel halbieren
  • 8. Zirkel und Lineal - Winkel vervielfachen

1.1.

Zirkel und Lineal - Gerade parallel verschieben

Hier wird mit den Euklidschen Werkzeugen (Zirkel und Lineal) eine Gerade parallel verschoben. Erlaubte Tätigkeiten sind dabei: (1) mit dem Lineal eine Strecke zu einer Geraden verlängern (2) mit dem Lineal durch zwei Punkte eine Gerade zeichnen (3) einen Schnittpunkt zweier Geraden finden (4) mit dem Zirkel einen Kreis um den Mittelpunkt zeichnen (5) einen oder mehrere Schnittpunkte zweier Kreise finden (6) einen oder mehrere Schnittpunkte zwischen Gerade und Kreis finden

Wie kannst du den Abstand zwischen der Ursprungsgeraden und der entstehenden Geraden verändern?
– Katharina Wieser

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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2.

Mittlere Proportionale

  • 1. Vom Rechteck zum Quadrat mittels des Höhensatzes
  • 2. Umwandlung eines Quadrates in ein Rechteck
  • 3. Konchoide
  • 4. Konchoide - Ermittlung der mittleren Proportionalen
  • 5. Kissoide
  • 6. Sehnensatz des Ptolemaios

2.1.

Vom Rechteck zum Quadrat mittels des Höhensatzes

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über die Höhe dem Rechteck aus den Hypothenusen-Abschnitten entspricht. Daher kann man bei einem Rechteck eine Dreieckshypothenuse und in der Folge ein rechtwinkliges Dreieck mit obigen Bedingungen konstruieren. Dann ist die Höhe die Seite des Quadrats.
– Katharina Wieser

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

Würfelverdopplung

  • 1. Würfelverdopplung - Quasikonstruktion
  • 2. Würfelverdopplung - Mechanische Konstruktion nach Platon
  • 3. Würfelverdopplung - das Mesolabium von Eratosthenes
  • 4. Würfelverdopplung - Proportionalen von Hippokrates
  • 5. Würfelverdopplung - Menaichmos: Parabel
  • 6. Würfelverdopplung - Menaichmos: Wurzelfunktion
  • 7. Würfelverdopplung - Näherung von Stifel

3.1.

Würfelverdopplung - Quasikonstruktion

Zeige algebraisch, dass das eine Konstruktion von der dritten Wurzel aus 2 ist!
– Katharina Wieser

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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4.

Winkeldreiteilung

  • 1. Winkeldreiteilung - Neusis nach Pappos
  • 2. Winkeldreiteilung - Näherung von Dürer
  • 3. Winkeldreiteilung - Quadratrix
  • 4. Winkeldreiteilung - trigonometrisch betrachtet
  • 5. Winkeldreiteilung - Neusis von Jordanus Nemorarius
  • 6. Winkeldreiteilung - Näherungslösung
  • 7. Winkeldreiteilung - mit der Konchoide

4.1.

Winkeldreiteilung - Neusis nach Pappos

Zeichne Rechteck ABCD so, dass der Winkel zwischen AB und der Diagonale AC der zu drittelnde Winkel α=∡BAC<□(π/2) ist. Die Diagonale AC hat die Länge a. Ein solches Rechteck lässt sich für jeden Winkel zeichnen. Auf einem Papierstreifen markiert man jeweils im Abstand a die Punkte R, S und T und legt diesen so an, dass - T auf der Verlängerung von DC über C hinaus liegt - R auf BC liegt - der Papierstreifen durch A geht Diese Hilfslinie ARST teilt den Winkel α im Verhältnis 1 : 3.
– Katharina Wieser

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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5.

Kreisquadratur

  • 1. Kreisquadratur - Näherung von Dürer

5.1.

Kreisquadratur - Näherung von Dürer

In seiner „Unterweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in ebnen und gantzen corporen“ von 1525 gibt Albrecht Dürer ein – ausdrücklich als solches bezeichnetes – Näherungsverfahren an: „Vonnöten wäre zu wissen Quadratura circuli, das ist die Gleichheit eines Zirkels und eines Quadrates, also dass eines ebenso viel Inhalt hätte als das andere. Aber solches ist noch nicht von den Gelehrten demonstrirt. Mechanice, das ist beiläufig, also dass es im Werk nicht oder nur um ein kleines fehlt, mag diese Gleichheit also gemacht werden. Reiß eine Vierung und teile den Ortsstrich in zehn Teile und reiße danach einen Zirkelriß, dessen Durchmesser acht Teile haben soll, die die Quadratur deren 10; wie ich das unten aufgerissen habe.“

Untersuche, ob der Fehler in Dürer´s Näherung von der Größe der Konstruktion abhängig oder gleichbleibend ist? Begründe deine Antwort!
– Katharina Wieser

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